Determine o supremo c o ínfimo do conjunto
dado por
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! O enunciado pede pra gente encontrar o supremo e o ínfimo do conjunto
.
Isso está dentro da matéria de Análise de Conjuntos de Números Reais, especificamente lidando com limites e propriedades de supremum (o menor limite superior) e ínfimo (o maior limite inferior). Para resolver, vamos precisar entender como esses conceitos funcionam e como aplicá-los ao conjunto dado.
Passo 2
Primeiro, vamos entender o que é o supremo e o ínfimo.
- Supremo (
): É o menor número que é maior ou igual a todos os elementos do conjunto. Pense nele como o “teto” do conjunto. - Ínfimo (
): É o maior número que é menor ou igual a todos os elementos do conjunto. Ele funciona como o “piso” do conjunto.
Passo 3
Agora, vamos observar o conjunto
.
Vamos listar alguns elementos para visualizar melhor:
Perceba que conforme
aumenta, os valores de
diminuem. Isso significa que os elementos estão se aproximando de 0.
Passo 4
Para encontrar o supremo, observamos qual é o maior elemento do conjunto
.
No conjunto, o primeiro termo é
, e todos os outros termos são menores que ele:
Portanto, o maior elemento é
. Assim, o supremo de
é
.
Passo 5
Agora, vamos encontrar o ínfimo.
Como os termos de
ficam cada vez menores e se aproximam de 0, mas nunca chegam a zero, o menor valor que o conjunto “toca” é 0. Mesmo que 0 não esteja no conjunto, ele é o menor limite que os elementos de
se aproximam.
Portanto, o ínfimo de
é 0.
Resposta
O supremo de
é
e o ínfimo de
é 0.
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.
(15) Scjam
c
dois subconjuntos de
limitados superiormente. Prove que
, onde
Resolva os sistemas de Equações pelo método da substituição: