Determine o supremo c o ínfimo do conjunto dado por

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! O enunciado pede pra gente encontrar o supremo e o ínfimo do conjunto .
Isso está dentro da matéria de Análise de Conjuntos de Números Reais, especificamente lidando com limites e propriedades de supremum (o menor limite superior) e ínfimo (o maior limite inferior). Para resolver, vamos precisar entender como esses conceitos funcionam e como aplicá-los ao conjunto dado.

Passo 2

Primeiro, vamos entender o que é o supremo e o ínfimo.
  • Supremo ( ): É o menor número que é maior ou igual a todos os elementos do conjunto. Pense nele como o “teto” do conjunto.
  • Ínfimo ( ): É o maior número que é menor ou igual a todos os elementos do conjunto. Ele funciona como o “piso” do conjunto.

Passo 3

Agora, vamos observar o conjunto .
Vamos listar alguns elementos para visualizar melhor:
Perceba que conforme aumenta, os valores de diminuem. Isso significa que os elementos estão se aproximando de 0.

Passo 4

Para encontrar o supremo, observamos qual é o maior elemento do conjunto .
No conjunto, o primeiro termo é , e todos os outros termos são menores que ele:
Portanto, o maior elemento é . Assim, o supremo de é .

Passo 5

Agora, vamos encontrar o ínfimo.
Como os termos de ficam cada vez menores e se aproximam de 0, mas nunca chegam a zero, o menor valor que o conjunto “toca” é 0. Mesmo que 0 não esteja no conjunto, ele é o menor limite que os elementos de se aproximam.
Portanto, o ínfimo de é 0.

Resposta

O supremo de é e o ínfimo de é 0.

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