Todas as matrizes são diagonalizáveis? Exemplifique.

Passo 1

Beleza, vamos entender a pergunta: “Todas as matrizes são diagonalizáveis? Exemplifique.” Aqui, estamos falando sobre matrizes no contexto de álgebra linear, mais especificamente sobre a propriedade de serem diagonalizáveis. Para resolver isso, vamos precisar saber o que significa uma matriz ser diagonalizável e quais são as condições para isso acontecer.

Passo 2

Primeiro, o que é uma matriz diagonalizável? Simplificando, uma matriz A = P D P^-1 é diagonalizável se ela puder ser transformada em uma matriz diagonal através de uma mudança de base. Isso significa que existe uma matriz invertível e uma matriz diagonal tal que:
Uma matriz diagonal tem todos os elementos fora da diagonal principal iguais a zero, o que facilita muitos cálculos.

Passo 3

Para que uma matriz seja diagonalizável, ela precisa atender a certos critérios relacionados aos seus autovalores (ou valores próprios) e autovetores. Especificamente:
  1. Autovalores distintos: Se todos os autovalores de uma matriz são diferentes, então ela é diagonalizável.
  2. Espaço gerado pelos autovetores: Mesmo que alguns autovalores se repitam, a matriz ainda pode ser diagonalizável se houver um conjunto completo de autovetores linearmente independentes.

Passo 4

Agora, vamos ver se todas as matrizes cumprem essas condições. A resposta é não. Nem toda matriz é diagonalizável. Vamos ver um exemplo para ficar mais claro.

Passo 5

Considere a seguinte matriz:
A = 1 & 1 0 & 1
Vamos tentar descobrir se essa matriz é diagonalizável.

Passo 6

Primeiro, achamos os autovalores de det(A - lambda I) = 0 resolvendo a equação característica:
det( 1 - lambda & 1 0 & 1 - lambda ) = (1 - lambda)^2 = 0
Calculando:
Então, o único autovalor é , com multiplicidade 2.

Passo 7

Agora, encontramos os autovetores associados a 0 & 1 0 & 0 v1 v2 = 0 0 resolvendo v1 0 :

[


]
Isso nos dá a equação . Então, os autovetores são da forma , ou seja, há apenas um vetor linearmente independente.

Passo 8

Para a matriz ser diagonalizável, precisamos de dois autovetores linearmente independentes, já que a matriz é . Mas no nosso caso, temos apenas um autovetor independente, o que significa que não podemos formar uma base completa com autovetores. Portanto, a matriz não é diagonalizável.

Passo 9

Esse exemplo mostra que nem todas as matrizes são diagonalizáveis. Matrizes como a que usamos acima, que têm autovalores repetidos e não têm autovetores suficientes, não podem ser diagonalizadas.

Resposta

Não, nem todas as matrizes são diagonalizáveis. Por exemplo, a matriz 1 & 1 0 & 1 não é diagonalizável porque não possui um conjunto completo de autovetores linearmente independentes.

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