Todas as matrizes são diagonalizáveis? Exemplifique.
Passo 1
Beleza, vamos entender a pergunta: “Todas as matrizes são diagonalizáveis? Exemplifique.” Aqui, estamos falando sobre matrizes no contexto de álgebra linear, mais especificamente sobre a propriedade de serem diagonalizáveis. Para resolver isso, vamos precisar saber o que significa uma matriz ser diagonalizável e quais são as condições para isso acontecer.
Passo 2
Primeiro, o que é uma matriz diagonalizável? Simplificando, uma matriz
é diagonalizável se ela puder ser transformada em uma matriz diagonal através de uma mudança de base. Isso significa que existe uma matriz invertível
e uma matriz diagonal
tal que:
Uma matriz diagonal tem todos os elementos fora da diagonal principal iguais a zero, o que facilita muitos cálculos.
Passo 3
Para que uma matriz seja diagonalizável, ela precisa atender a certos critérios relacionados aos seus autovalores (ou valores próprios) e autovetores. Especificamente:
- Autovalores distintos: Se todos os autovalores de uma matriz são diferentes, então ela é diagonalizável.
- Espaço gerado pelos autovetores: Mesmo que alguns autovalores se repitam, a matriz ainda pode ser diagonalizável se houver um conjunto completo de autovetores linearmente independentes.
Passo 4
Agora, vamos ver se todas as matrizes cumprem essas condições. A resposta é não. Nem toda matriz é diagonalizável. Vamos ver um exemplo para ficar mais claro.
Passo 5
Considere a seguinte matriz:
Vamos tentar descobrir se essa matriz é diagonalizável.
Passo 6
Primeiro, achamos os autovalores de
resolvendo a equação característica:
Calculando:
Então, o único autovalor é
, com multiplicidade 2.
Passo 7
Agora, encontramos os autovetores associados a
resolvendo
:
[
]
Isso nos dá a equação
. Então, os autovetores são da forma
, ou seja, há apenas um vetor linearmente independente.
Passo 8
Para a matriz ser diagonalizável, precisamos de dois autovetores linearmente independentes, já que a matriz é
. Mas no nosso caso, temos apenas um autovetor independente, o que significa que não podemos formar uma base completa com autovetores. Portanto, a matriz
não é diagonalizável.
Passo 9
Esse exemplo mostra que nem todas as matrizes são diagonalizáveis. Matrizes como a que usamos acima, que têm autovalores repetidos e não têm autovetores suficientes, não podem ser diagonalizadas.
Resposta
Não, nem todas as matrizes são diagonalizáveis. Por exemplo, a matriz
não é diagonalizável porque não possui um conjunto completo de autovetores linearmente independentes.
Exercícios relacionados
Verifique se o conjunto
com as operações indicadas é um espaço vetorial sobre
.
, onde
, com as seguintes operações:
Sejam a e b elementos de um anel. Mostre que são equivalentes as afirmações:
i) a divide b.
ii) Todo associado de a divide todo associado de b.
iii) Existe um associado de a que divide um associado de b.
i) a divide b.
ii) Todo associado de a divide todo associado de b.
iii) Existe um associado de a que divide um associado de b.
Seja
um número inteiro positivo ímpar. Mostre que a soma de
temos consecutivos de uma progressão aritmética com elementos em
é divisível por n .
15
Sejam e seja
o subespaço gerado por
. Determine a dimensão de
em função de
.
Sejam