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Sejam
, com
, e
, para alguma base
de
. Mostre que:
(a) Se
é ímpar e
, então
possui pelo menos um autovalor positivo.
Sejam
(a) Se
Passo 1
Vamos resumir o que o exercício está pedindo. Temos uma transformação linear
em um espaço vetorial
de dimensão
, que é ímpar. A matriz dessa transformação na base
é
e o determinante dessa matriz é maior que zero (
). Queremos mostrar que
tem pelo menos um autovalor positivo. Para resolver isso, vamos usar conceitos de determinantes, autovalores e uma propriedade importante dos polinômios característicos de matrizes.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar que o determinante de uma matriz é igual ao produto de seus autovalores. Matematicamente, temos:
onde
são os autovalores de
.
Passo 3
Sabemos que
é ímpar e que
. Como o determinante é o produto dos autovalores, o produto de um número ímpar de números precisa ser positivo.
Passo 4
Para que o produto de um número ímpar de fatores seja positivo, deve haver um número ímpar de autovalores positivos. Se todos os autovalores fossem negativos, o produto de um número ímpar de negativos seria negativo, o que contradiz
.
Passo 5
Portanto, deve haver pelo menos um autovalor positivo para que o produto total dos autovalores seja positivo quando
é ímpar.
Resposta
Assim, demonstramos que se
é ímpar e
, então a transformação linear
possui pelo menos um autovalor positivo.