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Sejam T in L(V), com dim V=n, e A=[T]alpha^alpha in R^n times n, para alguma base alpha de V. Mostre que:
(a) Se n é ímpar e det(A)>0, então T possui pelo menos um autovalor positivo.

Passo 1

Vamos resumir o que o exercício está pedindo. Temos uma transformação linear em um espaço vetorial de dimensão , que é ímpar. A matriz dessa transformação na base é e o determinante dessa matriz é maior que zero ( ). Queremos mostrar que tem pelo menos um autovalor positivo. Para resolver isso, vamos usar conceitos de determinantes, autovalores e uma propriedade importante dos polinômios característicos de matrizes.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar que o determinante de uma matriz é igual ao produto de seus autovalores. Matematicamente, temos:
det(A) = lambda1 lambda2 dotsm lambdan
onde são os autovalores de .

Passo 3

Sabemos que é ímpar e que . Como o determinante é o produto dos autovalores, o produto de um número ímpar de números precisa ser positivo.

Passo 4

Para que o produto de um número ímpar de fatores seja positivo, deve haver um número ímpar de autovalores positivos. Se todos os autovalores fossem negativos, o produto de um número ímpar de negativos seria negativo, o que contradiz .

Passo 5

Portanto, deve haver pelo menos um autovalor positivo para que o produto total dos autovalores seja positivo quando é ímpar.

Resposta

Assim, demonstramos que se é ímpar e , então a transformação linear possui pelo menos um autovalor positivo.

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