Dentre os conjuntos seguintes, determine quais são subspaços de R^2: S=(x, y) in R^2 ; y=x+1

Passo 1

Beleza, vamos dar uma olhada no que a questão está pedindo. Temos um conjunto e precisamos descobrir se ele é um subespaço de . Na Matemática, especialmente no Álgebra Linear, um subespaço precisa satisfazer três condições principais. Vamos ver quais são essas condições e o que precisamos para verificar isso.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar o que é um subespaço. Um subespaço de precisa cumprir três critérios:
  1. Contém o vetor zero: O vetor zero é .
  2. Fechado sob adição: Se você pegar dois vetores no subespaço e somar, o resultado também precisa estar no subespaço.
  3. Fechado sob multiplicação por escalar: Se você multiplicar um vetor do subespaço por qualquer número real, o resultado também deve estar no subespaço.
Vamos verificar cada uma dessas condições para o conjunto .

Passo 3

1. Verificando se y = x + 1 0 = 0 + 1 0 = 1 (o que é falso) contém o vetor zero:
O vetor zero em é . Vamos ver se ele pertence ao conjunto :
é
Como isso não é verdade, não está em .

Passo 4

Conclusão sobre o vetor zero:
Já que o conjunto não contém o vetor zero, ele não pode ser um subespaço de . Não precisamos verificar as outras condições, porque todas elas precisam ser verdadeiras para que seja um subespaço.

Resposta

O conjunto não é um subespaço de porque não contém o vetor zero.

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