Determine o polinômio característico e os autovalores, caso existam, das seguintes matrizes de transformação linear:

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício de matrizes e autovalores! A gente precisa encontrar o polinômio característico e os autovalores da matriz . Isso faz parte da matéria de Álgebra Linear, mais especificamente sobre transformações lineares e propriedades de matrizes. Para isso, vamos precisar usar a definição de polinômio característico, que envolve determinantes, e entender como calcular autovalores a partir dele.

Passo 2

Primeiro, vamos relembrar o que é o polinômio característico. Para uma matriz quadrada , o polinômio característico é dado por:
onde é um escalar (autovalor) e é a matriz identidade do mesmo tamanho que .

Passo 3

Vamos montar a matriz . A matriz identidade de ordem 3 é:
Então,

Passo 4

Agora, precisamos calcular o determinante dessa matriz . O determinante de uma matriz 3x3 pode ser calculado usando a regra de Sarrus ou a expansão por cofatores. Vamos usar a expansão pelo primeiro elemento para facilitar.

Passo 5

Calculando os determinantes das matrizes 2x2:

Passo 6

Substituindo de volta no determinante:
Agora, distribuindo:

Passo 7

Vamos agrupar os termos semelhantes:
Então, o polinômio característico é:

Passo 8

Para facilitar, podemos multiplicar todos os termos por -1:

Passo 9

Agora, para encontrar os autovalores, precisamos resolver a equação :
Vamos tentar encontrar raízes racionais usando o Teorema das Raízes Racionais. Os possíveis candidatos são os divisores de 28, que são .
Testando :
Então, é uma raiz.

Passo 10

Agora, fatoramos do polinômio:
Agora, resolvemos usando a fórmula de Bhaskara:

Resposta

O polinômio característico da matriz é . Os autovalores são , e .

Exercícios relacionados

Dentre os conjuntos seguintes, determine quais são subspaços de :
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Sejam , com , e , para alguma base de . Mostre que:
(a) Se é ímpar e , então possui pelo menos um autovalor positivo.
Seja a matriz tal que , então qual o valor de ?
Determine, se existirem, os autovalores e autovetores de em cada caso. Nos casos afirmativos determine o autoespaço generalizado.
(i) , para todo .