Determine o polinômio característico e os autovalores, caso existam, das seguintes matrizes de transformação linear:
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício de matrizes e autovalores! A gente precisa encontrar o polinômio característico e os autovalores da matriz . Isso faz parte da matéria de Álgebra Linear, mais especificamente sobre transformações lineares e propriedades de matrizes. Para isso, vamos precisar usar a definição de polinômio característico, que envolve determinantes, e entender como calcular autovalores a partir dele.
Passo 2
Primeiro, vamos relembrar o que é o polinômio característico. Para uma matriz quadrada , o polinômio característico é dado por:
onde é um escalar (autovalor) e é a matriz identidade do mesmo tamanho que .
Passo 3
Vamos montar a matriz . A matriz identidade de ordem 3 é:
Então,
Passo 4
Agora, precisamos calcular o determinante dessa matriz . O determinante de uma matriz 3x3 pode ser calculado usando a regra de Sarrus ou a expansão por cofatores. Vamos usar a expansão pelo primeiro elemento para facilitar.
Passo 5
Calculando os determinantes das matrizes 2x2:
Passo 6
Substituindo de volta no determinante:
Agora, distribuindo:
Passo 7
Vamos agrupar os termos semelhantes:
Então, o polinômio característico é:
Passo 8
Para facilitar, podemos multiplicar todos os termos por -1:
Passo 9
Agora, para encontrar os autovalores, precisamos resolver a equação :
Vamos tentar encontrar raízes racionais usando o Teorema das Raízes Racionais. Os possíveis candidatos são os divisores de 28, que são .
Testando :
Então, é uma raiz.
Passo 10
Agora, fatoramos do polinômio:
Agora, resolvemos usando a fórmula de Bhaskara:
Resposta
O polinômio característico da matriz é . Os autovalores são , e .