Determine o polinômio característico e os autovalores, caso existam, das seguintes matrizes de transformação linear: B=[lll3 & 0 & 1 1 & 4 & 1 1 & 2 & 3]

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício de matrizes e autovalores! A gente precisa encontrar o polinômio característico e os autovalores da matriz . Isso faz parte da matéria de Álgebra Linear, mais especificamente sobre transformações lineares e propriedades de matrizes. Para isso, vamos precisar usar a definição de polinômio característico, que envolve determinantes, e entender como calcular autovalores a partir dele.

Passo 2

Primeiro, vamos relembrar o que é o polinômio característico. Para uma matriz quadrada p(lambda) = det(B - lambda I) , o polinômio característico é dado por:
onde é um escalar (autovalor) e é a matriz identidade do mesmo tamanho que .

Passo 3

Vamos montar a matriz I = 1 & 0 & 0 0 & 1 & 0 0 & 0 & 1 . A matriz identidade B - lambda I = 3 - lambda & 0 & 1 1 & 4 - lambda & 1 1 & 2 & 3 - lambda de ordem 3 é:
Então,

Passo 4

Agora, precisamos calcular o determinante dessa matriz det(B - lambda I) = (3 - lambda) cdot det 4 - lambda & 1 2 & 3 - lambda - 0 cdot det 1 & 1 1 & 3 - lambda + 1 cdot det 1 & 4 - lambda 1 & 2 . O determinante de uma matriz 3x3 pode ser calculado usando a regra de Sarrus ou a expansão por cofatores. Vamos usar a expansão pelo primeiro elemento para facilitar.

Passo 5

Calculando os determinantes das matrizes 2x2:
det 4 - lambda & 1 2 & 3 - lambda = (4 - lambda)(3 - lambda) - (1)(2) = (12 - 7lambda + lambda^2) - 2 = lambda^2 - 7lambda + 10
det 1 & 4 - lambda 1 & 2 = (1)(2) - (4 - lambda)(1) = 2 - (4 - lambda) = lambda - 2

Passo 6

Substituindo de volta no determinante:
det(B - lambda I) = (3 - lambda)(lambda^2 - 7lambda + 10) + (lambda - 2)
Agora, distribuindo:
= (3)(lambda^2 - 7lambda + 10) - lambda(lambda^2 - 7lambda + 10) + lambda - 2
= 3lambda^2 - 21lambda + 30 - lambda^3 + 7lambda^2 - 10lambda + lambda - 2

Passo 7

Vamos agrupar os termos semelhantes:
-lambda^3 + (3lambda^2 + 7lambda^2) + (-21lambda - 10lambda + lambda) + (30 - 2)
= -lambda^3 + 10lambda^2 - 30lambda + 28
Então, o polinômio característico é:
p(lambda) = -lambda^3 + 10lambda^2 - 30lambda + 28

Passo 8

Para facilitar, podemos multiplicar todos os termos por -1:
p(lambda) = lambda^3 - 10lambda^2 + 30lambda - 28

Passo 9

Agora, para encontrar os autovalores, precisamos resolver a equação lambda^3 - 10lambda^2 + 30lambda - 28 = 0 :
2^3 - 10(2)^2 + 30(2) - 28 = 8 - 40 + 60 - 28 = 0
Vamos tentar encontrar raízes racionais usando o Teorema das Raízes Racionais. Os possíveis candidatos são os divisores de 28, que são .
Testando :
Então, é uma raiz.

Passo 10

Agora, fatoramos lambda^3 - 10lambda^2 + 30lambda - 28 = (lambda - 2)(lambda^2 - 8lambda + 14) do polinômio:
lambda = 8 pm raiz64 - 562 = 8 pm raiz82 = 4 pm raiz2
Agora, resolvemos usando a fórmula de Bhaskara:

Resposta

O polinômio característico da matriz é . Os autovalores são , e .

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