Determine o polinômio característico e os autovalores, caso existam, das seguintes matrizes de transformação linear:
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício de matrizes e autovalores! A gente precisa encontrar o polinômio característico e os autovalores da matriz . Isso faz parte da matéria de Álgebra Linear, mais especificamente sobre transformações lineares e propriedades de matrizes. Para isso, vamos precisar usar a definição de polinômio característico, que envolve determinantes, e entender como calcular autovalores a partir dele.
Passo 2
Primeiro, vamos relembrar o que é o polinômio característico. Para uma matriz quadrada p(lambda) = det(B - lambda I) , o polinômio característico é dado por:
onde é um escalar (autovalor) e é a matriz identidade do mesmo tamanho que .
Passo 3
Vamos montar a matriz I = 1 & 0 & 0 0 & 1 & 0 0 & 0 & 1 . A matriz identidade B - lambda I = 3 - lambda & 0 & 1 1 & 4 - lambda & 1 1 & 2 & 3 - lambda de ordem 3 é:
Então,
Passo 4
Agora, precisamos calcular o determinante dessa matriz det(B - lambda I) = (3 - lambda) cdot det 4 - lambda & 1 2 & 3 - lambda - 0 cdot det 1 & 1 1 & 3 - lambda + 1 cdot det 1 & 4 - lambda 1 & 2 . O determinante de uma matriz 3x3 pode ser calculado usando a regra de Sarrus ou a expansão por cofatores. Vamos usar a expansão pelo primeiro elemento para facilitar.