Determine quais EDOs são exatas. Em caso positivo, resolva-as: (4y + 2t - 5) dt + (6y + 4t - 1) dy = 0

Passo 1

Beleza, vamos lá! O enunciado nos pede para verificar se a EDO é exata. Se for, a gente resolve. Aqui estamos lidando com Equações Diferenciais Ordinárias (EDOs) e vamos precisar usar o conceito de exatidão para resolver.

Passo 2

Primeiro, vamos identificar os termos da EDO:
A condição para a EDO ser exata é que a derivada parcial de em relação a seja igual à derivada parcial de em relação a . Ou seja:

Passo 3

Vamos calcular as derivadas parciais:
Como , a equação é exata.

Passo 4

Como a EDO é exata, existe uma função potencial tal que:
Vamos integrar em relação a para encontrar :
Aqui, é uma função que depende apenas de .

Passo 5

Agora, derivamos em relação a e igualamos a :
Subtraindo de ambos os lados:

Passo 6

Integramos em relação a para encontrar :
Onde é a constante de integração.

Passo 7

Agora, substituímos na expressão de :
A solução geral da EDO é dada por . Então:

Resposta

A solução geral da EDO é:
Onde é uma constante arbitrária.

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