15a. Uma fábrica de bicicletas criou um novo modelo e quer colocá-la no mercado. Usando planilhas de custos variáveis, fixos e a curva de demanda, chegou-se na seguinte fórmula que relaciona o lucro
da empresa (em
) de acordo com a quantidade x de bicicletas vendidas por mês.
(a) Qual o resultado se não for vendida nenhuma bicicleta? (b) Qual a quantidade a ser vendida para que a empresa tenha lucro? © Qual a quantidade a ser vendida para que o lucro seja máximo? (d) Qual o lucro máximo?
Passo 1
Beleza, vamos entender o que a questão está pedindo. Temos uma fábrica de bicicletas que criou um novo modelo e quer saber como vai se sair no mercado em termos de lucro. A fórmula do lucro
depende da quantidade
de bicicletas vendidas por mês:
Aqui, estamos lidando com funções quadráticas para analisar o lucro. Vamos precisar entender conceitos como avaliação de função em determinados pontos, resolução de inequações e encontrar o valor máximo de uma parábola.
Passo 2
Parte (a): Qual o resultado se não for vendida nenhuma bicicleta?
Para descobrir o lucro quando nenhuma bicicleta é vendida, basta substituir
na fórmula do lucro:
Isso significa que se não vender nenhuma bicicleta, a empresa terá um prejuízo de R$210.000.
Passo 3
Parte (b): Qual a quantidade a ser vendida para que a empresa tenha lucro?
Queremos saber para quais valores de
o lucro
é maior que zero:
Vamos resolver essa inequação. Primeiro, encontramos as raízes da equação quadrática:
Dividindo todos os termos por -5 para simplificar:
Aplicando a fórmula de Bhaskara:
Calculando o discriminante:
Então:
Isso dá duas raízes:
Como a parábola é voltada para baixo (coeficiente de
negativo), o lucro é positivo entre essas duas quantidades. Portanto, a empresa terá lucro se vender entre aproximadamente 126 e 335 bicicletas por mês.
Passo 4
Parte ©: Qual a quantidade a ser vendida para que o lucro seja máximo?
Para encontrar a quantidade que maximiza o lucro, precisamos encontrar o vértice da parábola representada pela função
. A fórmula para a coordenada
do vértice é:
Aqui,
e
. Então:
Portanto, a quantidade que maximiza o lucro é 230 bicicletas por mês.
Passo 5
Parte (d): Qual o lucro máximo?
Agora que sabemos que o lucro é máximo quando
, vamos calcular
:
Calculando passo a passo:
Somando tudo:
O lucro máximo é de R$54.500.
Resposta
(a) Se não for vendida nenhuma bicicleta, o prejuízo é de R$210.000.
(b) A empresa terá lucro ao vender entre aproximadamente 126 e 335 bicicletas por mês.
© Para obter o lucro máximo, a empresa deve vender 230 bicicletas por mês.
(d) O lucro máximo será de R$54.500.
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