Calcule a derivada.

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A questão pede para calcular a derivada da função . Isso está ligado ao Cálculo Diferencial, especificamente à derivação de produtos de funções. Para resolver, vamos precisar aplicar a Regra do Produto, que é usada quando temos uma função que é o produto de duas outras funções.

Passo 2

Primeiro, identifique as duas funções que estão sendo multiplicadas. No nosso caso, temos:
  • Função 1:
  • Função 2:

Passo 3

Agora, vamos derivar cada uma dessas funções separadamente:
  • Derivada de :
    A derivada da função exponencial em relação a é simplesmente ela mesma. Então,
  • Derivada de :
    A derivada da função cosseno é o negativo da função seno. Portanto,

Passo 4

Agora, aplicamos a Regra do Produto, que diz que a derivada de é:
Substituindo as derivadas que encontramos:
Simplificando:

Resposta

A derivada de em relação a é:

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a) Use a definição de derivada para demonstrar que, se , então .
Calcule o limite, se existir.

18.
15a. Uma fábrica de bicicletas criou um novo modelo e quer colocá-la no mercado. Usando planilhas de custos variáveis, fixos e a curva de demanda, chegou-se na seguinte fórmula que relaciona o lucro da empresa (em ) de acordo com a quantidade x de bicicletas vendidas por mês. (a) Qual o resultado se não for vendida nenhuma bicicleta? (b) Qual a quantidade a ser vendida para que a empresa tenha lucro? © Qual a quantidade a ser vendida para que o lucro seja máximo? (d) Qual o lucro máximo?
14a. Uma pequena empresa fabrica bonecas e semanalmente arca com um custo fixo de . O custo para o material é de por boneca. (a) Qual o custo total na semana para produzir 100 bonecas? (b) Se o custo total na semana é de aproximadamente , quantas bonecas essa empresa produz na semana?