a) Use a definição de derivada para demonstrar que, se , então .

Passo 1

Vamos resumir o que a questão pede: precisamos mostrar, usando a definição de derivada, que se , então a derivada é . Para isso, vamos utilizar a definição de derivada e realizar alguns cálculos com polinômios.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar qual é a definição de derivada. A derivada de uma função no ponto é dada por:
Vamos aplicar essa definição à nossa função .

Passo 3

Substituindo e na definição, temos:
Agora, vamos expandir :
Subtraindo e dividindo por :
Finalmente, tomando o limite quando tende a 0:

Resposta

A derivada de é .

Exercícios relacionados

Calcule o limite, se existir.

18.
Seja
Calcule e .
Calcule a derivada.
15a. Uma fábrica de bicicletas criou um novo modelo e quer colocá-la no mercado. Usando planilhas de custos variáveis, fixos e a curva de demanda, chegou-se na seguinte fórmula que relaciona o lucro da empresa (em ) de acordo com a quantidade x de bicicletas vendidas por mês. (a) Qual o resultado se não for vendida nenhuma bicicleta? (b) Qual a quantidade a ser vendida para que a empresa tenha lucro? © Qual a quantidade a ser vendida para que o lucro seja máximo? (d) Qual o lucro máximo?