4,0
a) Use a definição de derivada para demonstrar que, se f(x) = x^3, então f'(x) = 3 x^2.

Passo 1

Vamos resumir o que a questão pede: precisamos mostrar, usando a definição de derivada, que se , então a derivada é . Para isso, vamos utilizar a definição de derivada e realizar alguns cálculos com polinômios.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar qual é a definição de derivada. A derivada de uma função no ponto é dada por:
Vamos aplicar essa definição à nossa função .

Passo 3

Substituindo e na definição, temos:
Agora, vamos expandir :
Subtraindo e dividindo por :
Finalmente, tomando o limite quando tende a 0:

Resposta

A derivada de é .

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