16-07-2024,1538
7.63 Uma esquiadora parte com velocidade inicial desprezível do topo de uma esfera de neve com raio muito grande e sem atrito, desloca-se diretamente para baixo (Figura 7.38). Em que ponto ela perde o contato com a esfera e voa seguindo a direção da tangente? Ou seja, no momento em que ela perde o contato com a esfera, qual é o ângulo a entre a vertical e a linha que liga a esquiadora ao centro da esfera de neve?
Figura 7.38 Problema 7.63.

Passo 1

Beleza, vamos lá! O enunciado fala sobre uma esquiadora que começa do topo de uma esfera de neve, praticamente sem velocidade inicial, e vai descendo sem atrito. A pergunta é: em que ponto ela perde o contato com a esfera e voa na direção da tangente? Ou seja, qual é o ângulo entre a vertical e a linha que conecta a esquiadora ao centro da esfera nesse momento.
Para resolver isso, vamos precisar entender um pouco de física, especificamente de forças envolvidas em movimentos circulares e conservação de energia. Vamos usar conceitos de força centrípeta e energia potencial e cinética.

Passo 2

Primeiro, vamos considerar as forças que atuam na esquiadora enquanto ela está descendo a esfera. Existem duas forças principais:
  1. Força da Gravidade ( ): Puxa a esquiadora para baixo.
  2. Força Normal ( ): A força que a esfera exerce sobre a esquiadora, perpendicular à superfície da esfera.
Quando a esquiadora está em contato com a esfera, essas duas forças estão em equilíbrio para fornecer a força centrípeta necessária para o movimento circular.

Passo 3

A força centrípeta ( Fc = mv^2R ) é necessária para manter a esquiadora seguindo a trajetória curva da esfera. Ela é dada por:
onde:
  • é a massa da esquiadora,
  • é a velocidade dela,
  • é o raio da esfera.
No ponto onde ela perde o contato, a força normal se torna zero porque não há mais contato físico. Então, a única força que fornece a força centrípeta é a componente da gravidade.

Passo 4

Vamos decompor a força da gravidade em duas componentes:
  • Paralela à superfície da esfera: Não afeta a força centrípeta.
  • Perpendicular à superfície da esfera: Fornece a força centrípeta.
A componente perpendicular da gravidade é:
mg cos(alpha) = mv^2R
Simplificando, temos:
g cos(alpha) = v^2R

Passo 5

Agora, vamos usar a conservação de energia para relacionar a velocidade Epotencial = m g R com a altura de onde a esquiadora desceu.
No topo, toda a energia é potencial:
Epotencial = m g R cos(alpha)
Na posição em que ela está no ângulo Ecinética = 12 m v^2 , a energia potencial é:
m g R = m g R cos(alpha) + 12 m v^2
E a energia cinética é:
é
Pela conservação de energia:

Passo 6

Vamos simplificar a equação dividindo todos os termos por g R = g R cos(alpha) + 12 v^2 :
12 v^2 = g R (1 - cos(alpha))
Rearranjando para encontrar v^2 = 2 g R (1 - cos(alpha)) :
Multiplicando ambos os lados por 2:

Passo 7

Agora, substituímos g cos(alpha) = 2 g R (1 - cos(alpha))R na equação da força centrípeta que obtivemos no Passo 4:
g cos(alpha) = 2 g (1 - cos(alpha))
Simplificando cos(alpha) = 2 (1 - cos(alpha)) :
Cancelando dos dois lados:

Passo 8

Vamos resolver para cos(alpha) = 2 - 2 cos(alpha) :
3 cos(alpha) = 2
Somando cos(alpha) = 23 aos dois lados:
Dividindo por 3:

Passo 9

Finalmente, para encontrar o ângulo alpha = cos^-1(23) approx 48,19^circ , tiramos o arco cosseno de :

Resposta

A esquiadora perde o contato com a esfera quando o ângulo é aproximadamente em relação à vertical.

Exercícios relacionados