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7.63 Uma esquiadora parte com velocidade inicial desprezível do topo de uma esfera de neve com raio muito grande e sem atrito, desloca-se diretamente para baixo (Figura 7.38). Em que ponto ela perde o contato com a esfera e voa seguindo a direção da tangente? Ou seja, no momento em que ela perde o contato com a esfera, qual é o ângulo a entre a vertical e a linha que liga a esquiadora ao centro da esfera de neve?
Figura 7.38 Problema 7.63.
7.63 Uma esquiadora parte com velocidade inicial desprezível do topo de uma esfera de neve com raio muito grande e sem atrito, desloca-se diretamente para baixo (Figura 7.38). Em que ponto ela perde o contato com a esfera e voa seguindo a direção da tangente? Ou seja, no momento em que ela perde o contato com a esfera, qual é o ângulo a entre a vertical e a linha que liga a esquiadora ao centro da esfera de neve?
Figura 7.38 Problema 7.63.
Passo 1
Beleza, vamos lá! O enunciado fala sobre uma esquiadora que começa do topo de uma esfera de neve, praticamente sem velocidade inicial, e vai descendo sem atrito. A pergunta é: em que ponto ela perde o contato com a esfera e voa na direção da tangente? Ou seja, qual é o ângulo
entre a vertical e a linha que conecta a esquiadora ao centro da esfera nesse momento.
Para resolver isso, vamos precisar entender um pouco de física, especificamente de forças envolvidas em movimentos circulares e conservação de energia. Vamos usar conceitos de força centrípeta e energia potencial e cinética.
Passo 2
Primeiro, vamos considerar as forças que atuam na esquiadora enquanto ela está descendo a esfera. Existem duas forças principais:
- Força da Gravidade (
): Puxa a esquiadora para baixo. - Força Normal (
): A força que a esfera exerce sobre a esquiadora, perpendicular à superfície da esfera.
Quando a esquiadora está em contato com a esfera, essas duas forças estão em equilíbrio para fornecer a força centrípeta necessária para o movimento circular.
Passo 3
A força centrípeta (
) é necessária para manter a esquiadora seguindo a trajetória curva da esfera. Ela é dada por:
onde:
-
é a massa da esquiadora, -
é a velocidade dela, -
é o raio da esfera.
No ponto onde ela perde o contato, a força normal
se torna zero porque não há mais contato físico. Então, a única força que fornece a força centrípeta é a componente da gravidade.
Passo 4
Vamos decompor a força da gravidade em duas componentes:
- Paralela à superfície da esfera: Não afeta a força centrípeta.
- Perpendicular à superfície da esfera: Fornece a força centrípeta.
A componente perpendicular da gravidade é:
Simplificando, temos:
Passo 5
Agora, vamos usar a conservação de energia para relacionar a velocidade
com a altura de onde a esquiadora desceu.
No topo, toda a energia é potencial:
Na posição em que ela está no ângulo
, a energia potencial é:
E a energia cinética é:
Pela conservação de energia:
Passo 6
Vamos simplificar a equação dividindo todos os termos por
:
Rearranjando para encontrar
:
Multiplicando ambos os lados por 2:
Passo 7
Agora, substituímos
na equação da força centrípeta que obtivemos no Passo 4:
Simplificando
:
Cancelando
dos dois lados:
Passo 8
Vamos resolver para
:
Somando
aos dois lados:
Dividindo por 3:
Passo 9
Finalmente, para encontrar o ângulo
, tiramos o arco cosseno de
:
Resposta
A esquiadora perde o contato com a esfera quando o ângulo
é aproximadamente
em relação à vertical.
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