Quando Marte está mais próximo da Terra, a distância que separa os dois planetas é de 88,6 times 10^6 km. Marte é visto através de um telescópio cujo espelho tem um diâmetro de 30,0 cm. (A) Se o comprimento de onda da luz é 590 nm , qual é a resolução angular do telescópio?

Passo 1

Beleza, vamos lá! O enunciado nos diz que quando Marte está mais próximo da Terra, a distância entre eles é de km. A gente quer descobrir a resolução angular de um telescópio que tem um espelho com diâmetro de 30,0 cm, usando luz com comprimento de onda de 590 nm.
Isso envolve conceitos de otimização da resolução de telescópios, especificamente usando o Critério de Rayleigh, que nos ajuda a calcular o menor ângulo que o telescópio consegue distinguir entre dois objetos próximos.

Passo 2

Primeiro, vamos garantir que todas as unidades estejam compatíveis. A fórmula que vamos usar precisa que o comprimento de onda ( lambda = 590 times 10^-9 , m ) e o diâmetro do espelho ( D = 0,30 , m ) estejam na mesma unidade, preferencialmente metros.
  • Comprimento de onda,
    Sabemos que , então:
  • Diâmetro do espelho,
    Sabemos que , então:

Passo 3

Agora, vamos usar o Critério de Rayleigh para calcular a resolução angular ( theta = 1,22 times lambdaD ) do telescópio. A fórmula é:
Onde:
  • é a resolução angular em radianos.
  • é o comprimento de onda da luz.
  • é o diâmetro do espelho do telescópio.
Esse critério nos dá uma estimativa do menor ângulo que o telescópio consegue distinguir entre dois objetos próximos.

Passo 4

Vamos substituir os valores que já temos na fórmula:
theta = 1,22 times 590 times 10^-9 , m0,30 , m
Agora, vamos calcular:
theta = 1,22 times 590 times 10^-90,30 = 1,22 times 1,9667 times 10^-6 approx 2,402 times 10^-6 , radianos

Passo 5

Normalmente, expressamos a resolução angular em graus, arcminutos ou arcosegundos para facilitar a compreensão. Vamos converter radianos para arcosegundos.
Sabemos que:
  • theta = 2,402 times 10^-6 times 180pi approx 0,1376 , graus
  • theta = 0,1376 times 60 times 60 approx 495,4 , arcosegundos
Primeiro, convertemos radianos para graus:
Agora, convertemos graus para arcosegundos:

Resposta

A resolução angular do telescópio é aproximadamente arcosegundos.

Exercícios relacionados