Passo 1
Beleza, vamos lá! Você me enviou um sistema de equações diferenciais que descreve como duas variáveis,
e
, mudam com o tempo. Esse tipo de problema está no campo das Equações Diferenciais Ordinárias (EDOs), mais especificamente em sistemas de EDOs. Para resolver, vamos precisar entender um pouco sobre como encontrar soluções que descrevem o comportamento dessas variáveis ao longo do tempo.
Passo 2
Primeiro, vamos escrever o sistema que você me enviou:
Essas equações descrevem como
e
mudam em relação ao tempo
.
Passo 3
Nosso próximo passo é encontrar os pontos de equilíbrio do sistema. Pontos de equilíbrio são valores de
e
onde as derivadas são iguais a zero, ou seja, onde
e
. Isso nos ajuda a entender o comportamento do sistema em equilíbrio.
Passo 4
Vamos igualar as derivadas a zero:
Da primeira equação, vemos que
.
Passo 5
Substituindo
na segunda equa�o:
Podemos fatorar
:
Passo 6
Isso nos dá duas soluções:
-
-
ou
Então, os pontos de equilíbrio são:
Passo 7
Agora, para entender o comportamento do sistema próximo a esses pontos de equilíbrio, podemos linearizar o sistema usando a matriz Jacobiana. Isso envolve calcular as derivadas parciais das funções do lado direito das equações em relação a
e
.
Passo 8
Vamos definir as funções:
A matriz Jacobiana
é:
Calculando as derivadas:
Então,
Passo 9
Vamos avaliar a matriz Jacobiana em cada ponto de equilíbrio.
Para
:
Calculamos os autovalores da matriz para determinar a estabilidade.
Passo 10
Os autovalores
são soluções da equação característica:
Para
:
Resolvendo:
Usando a fórmula de Bhaskara:
Resposta
Os autovalores são reais e de sinais opostos, indicando que o ponto de equilíbrio
é um ponto de sela e, portanto, instável. Para os outros pontos de equilíbrio
e
, um procedimento similar deve ser seguido para determinar sua estabilidade.