Calcular a Transformada de Laplace inversa de:
F(s) = 3(s-2)e^(-s)/(s^2 - 4s + 3)

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa calcular a Transformada de Laplace inversa de . Isso envolve conceitos de Transformada de Laplace, especialmente a parte de atraso ou avanço no tempo devido ao termo . Vamos precisar fatorar o denominador, simplificar a expressão e aplicar as propriedades da Transformada de Laplace inversa.

Passo 2

Primeiro, vamos simplificar o denominador . Para isso, vamos fatorar esse polinômio. Vamos procurar dois números que multiplicados dão e somados dão .

Passo 3

Os números que satisfazem essas condições são e , pois e . Então, podemos fatorar o denominador como:

Passo 4

Agora, substituímos a fatoração no F(s):
Vamos separar o termo para lidar com a propriedade de atraso na Transformada de Laplace.

Passo 5

A propriedade de atraso nos diz que:
Onde é a função degrau de Heaviside. No nosso caso, . Mas antes de aplicar isso, precisamos encontrar a Transformada de Laplace inversa de:

Passo 6

Vamos simplificar a fração usando frações parciais. Procuramos constantes e tais que:

Passo 7

Multiplicando ambos os lados por :
Agora, vamos encontrar os valores de e .

Passo 8

Escolhemos valores de que simplificam a equação. Primeiro, se :
Agora, se :

Passo 9

Agora que temos e , podemos reescrever a fração parcial:
Simplificando:

Passo 10

Agora, aplicamos a Transformada de Laplace inversa a cada termo:
Então:

Passo 11

Agora, lembrando da propriedade de atraso que mencionamos antes, multiplicamos pelo termo e aplicamos o deslocamento no tempo:

Resposta

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