Calcular a Transformada de Laplace inversa de:
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa calcular a Transformada de Laplace inversa de
. Isso envolve conceitos de Transformada de Laplace, especialmente a parte de atraso ou avanço no tempo devido ao termo
. Vamos precisar fatorar o denominador, simplificar a expressão e aplicar as propriedades da Transformada de Laplace inversa.
Passo 2
Primeiro, vamos simplificar o denominador
. Para isso, vamos fatorar esse polinômio. Vamos procurar dois números que multiplicados dão
e somados dão
.
Passo 3
Os números que satisfazem essas condições são
e
, pois
e
. Então, podemos fatorar o denominador como:
Passo 4
Agora, substituímos a fatoração no F(s):
Vamos separar o termo
para lidar com a propriedade de atraso na Transformada de Laplace.
Passo 5
A propriedade de atraso nos diz que:
Onde
é a função degrau de Heaviside. No nosso caso,
. Mas antes de aplicar isso, precisamos encontrar a Transformada de Laplace inversa de:
Passo 6
Vamos simplificar a fração
usando frações parciais. Procuramos constantes
e
tais que:
Passo 7
Multiplicando ambos os lados por
:
Agora, vamos encontrar os valores de
e
.
Passo 8
Escolhemos valores de
que simplificam a equação. Primeiro, se
:
Agora, se
:
Passo 9
Agora que temos
e
, podemos reescrever a fração parcial:
Simplificando:
Passo 10
Agora, aplicamos a Transformada de Laplace inversa a cada termo:
Então:
Passo 11
Agora, lembrando da propriedade de atraso que mencionamos antes, multiplicamos pelo termo
e aplicamos o deslocamento no tempo: