Um tanque contém originalmente 100 litros de água pura. Uma solução de 0,5 kg/litro de um certo sal é introduzida no tanque com uma vazão de 2 litros/minuto e a solução homogênea resultante sai do tanque com a mesma vazão. Depois de 10 minutos o processo é interrompido e água pura começa a ser despejada no tanque com uma vazão de 2 litros/minuto; a solução sai novamente do tanque com a mesma vazão. Determine a quantidade de sal no tanque após mais 10 minutos.

Passo 1

Vamos entender o que está acontecendo! Temos um tanque que começa com 100 litros de água pura. Uma solução com concentração de 0,5 kg/litro está entrando no tanque a uma taxa de 2 litros por minuto. Ao mesmo tempo, a mistura que sai do tanque também está saindo na mesma taxa de 2 litros por minuto. Nosso objetivo é descobrir quanto sal ficará no tanque após mais 10 minutos, ou seja, após um total de 20 minutos, considerando que após 10 minutos mudamos para adicionar apenas água pura.

Passo 2

Primeiro, vamos determinar como a quantidade de sal no tanque muda com o tempo enquanto estamos adicionando a solução salina. Vamos chamar de quantidade de sal no tanque no tempo .
A taxa de entrada de sal é dada pela concentração da solução que entra multiplicada pela vazão:
A taxa de saída de sal depende da concentração da solução no tanque no momento, que é kg/litro, multiplicada pela vazão de saída:
í

Passo 3

Agora, podemos montar a equação diferencial que descreve a variação da quantidade de sal no tanque:
í
Essa equação pode ser resolvida para encontrar .

Passo 4

Vamos resolver a equação diferencial:
Essa é uma equação linear de primeira ordem. Podemos usar o fator integrante .
Multiplicando a equação inteira pelo fator integrante:
Integrando ambos os lados:
Resolvendo para :

Passo 5

Agora, usamos a condição inicial para encontrar a constante . Inicialmente, o tanque tem água pura, ou seja, :
Então, a solução da equação é:

Passo 6

Vamos calcular a quantidade de sal no tanque após 10 minutos:
Calculando :

Passo 7

Após 10 minutos, interrompemos a adição da solução salina e começamos a adicionar água pura a 2 litros por minuto. Agora, a taxa de entrada de sal é zero. A nova equação diferencial fica:
Essa é uma equação diferencial simples que podemos resolver.

Passo 8

Resolvendo a nova equação diferencial:
Integrando ambos os lados:
Usamos a condição kg para encontrar :
Então, a solução é:

Passo 9

Queremos saber a quantidade de sal após mais 10 minutos, ou seja, no tempo total minutos:
Calculando :

Resposta

Após mais 10 minutos, a quantidade de sal no tanque é aproximadamente 7,41 kg.

Exercícios relacionados