Um tanque contém originalmente 100 litros de água pura. Uma solução de
de um certo sal é introduzida no tanque com uma vazão de 2 litros/minuto e a solução homogênea resultante sai do tanque com a mesma vazão. Depois de 10 minutos o processo é interrompido e água pura começa a ser despejada no tanque com uma vazão de 2 litros/minuto; a solução sai novamente do tanque com a mesma vazão. Determine a quantidade de sal no tanque após mais 10 minutos.
Passo 1
Vamos entender o que está acontecendo! Temos um tanque que começa com 100 litros de água pura. Uma solução com concentração de 0,5 kg/litro está entrando no tanque a uma taxa de 2 litros por minuto. Ao mesmo tempo, a mistura que sai do tanque também está saindo na mesma taxa de 2 litros por minuto. Nosso objetivo é descobrir quanto sal ficará no tanque após mais 10 minutos, ou seja, após um total de 20 minutos, considerando que após 10 minutos mudamos para adicionar apenas água pura.
Passo 2
Primeiro, vamos determinar como a quantidade de sal no tanque muda com o tempo enquanto estamos adicionando a solução salina. Vamos chamar
de quantidade de sal no tanque no tempo
.
A taxa de entrada de sal é dada pela concentração da solução que entra multiplicada pela vazão:
A taxa de saída de sal depende da concentração da solução no tanque no momento, que é
kg/litro, multiplicada pela vazão de saída:
Passo 3
Agora, podemos montar a equação diferencial que descreve a variação da quantidade de sal no tanque:
Essa equação pode ser resolvida para encontrar
.
Passo 4
Vamos resolver a equação diferencial:
Essa é uma equação linear de primeira ordem. Podemos usar o fator integrante
.
Multiplicando a equação inteira pelo fator integrante:
Integrando ambos os lados:
Resolvendo para
:
Passo 5
Agora, usamos a condição inicial para encontrar a constante
. Inicialmente, o tanque tem água pura, ou seja,
:
Então, a solução da equação é:
Passo 6
Vamos calcular a quantidade de sal no tanque após 10 minutos:
Calculando
:
Passo 7
Após 10 minutos, interrompemos a adição da solução salina e começamos a adicionar água pura a 2 litros por minuto. Agora, a taxa de entrada de sal é zero. A nova equação diferencial fica:
Essa é uma equação diferencial simples que podemos resolver.
Passo 8
Resolvendo a nova equação diferencial:
Integrando ambos os lados:
Usamos a condição
kg para encontrar
:
Então, a solução é:
Passo 9
Queremos saber a quantidade de sal após mais 10 minutos, ou seja, no tempo total
minutos:
Calculando
:
Resposta
Após mais 10 minutos, a quantidade de sal no tanque é aproximadamente 7,41 kg.