Passo 1
Beleza, vamos lá! A gente tem um sistema de equações diferenciais dado por:
O conteúdo aqui envolve equações diferenciais e sistemas de equações diferenciais não lineares. Para resolver, vamos precisar entender como manipular essas equações para encontrar as funções
e
que satisfazem ambas as equações ao mesmo tempo.
Passo 2
Primeiro, vamos olhar para a segunda equação:
Aqui, a derivada de
em relação ao tempo
depende de
e de
mesmo. Nosso objetivo é expressar
em termos de
e suas derivadas, para poder substituir na primeira equação.
Passo 3
Isolando
na segunda equação:
Agora temos
em função de
e da sua derivada. Isso é útil porque podemos substituir esse valor na primeira equação para eliminar
.
Passo 4
Substituindo
na primeira equação:
Mas também sabemos que
pode ser escrito como a derivada de
em termos de
:
Passo 5
Então, igualando as duas expressões para
:
Agora, vamos reorganizar essa equação para obter uma equação diferencial de segunda ordem somente em
:
Passo 6
Essa equação é uma equação diferencial não linear de segunda ordem devido ao termo
. Resolver exatamente essa equação pode ser bem complicado, mas podemos tentar simplificar ou analisar pontos de equilíbrio.
Passo 7
Vamos buscar os pontos de equilíbrio, onde
e
. Substituindo na equação:
Isso nos dá:
Passo 8
Com os valores de
, podemos encontrar os correspondentes valores de
usando
:
Para
:
Para
:
Passo 9
Então, os pontos de equilíbrio do sistema são
e
. Esses pontos são onde o sistema pode permanecer indefinidamente se começar exatamente nesses valores.
Passo 10
Para uma solução completa do sistema, seria necessário resolver a equação diferencial não linear, o que geralmente requer métodos avançados ou aproximações numéricas. Contudo, identificar os pontos de equilíbrio já nos dá uma boa ideia do comportamento do sistema.
Resposta
Os pontos de equilíbrio do sistema são
e
.