Então, vamos dar uma olhada no que o problema está nos pedindo. Temos um sistema de equações diferenciais chamado equação de van der Pol:
Esse tipo de sistema faz parte da matéria de Equações Diferenciais e Sistemas Dinâmicos. Para resolver, vamos precisar encontrar os pontos de equilíbrio e analisar o comportamento do sistema nesses pontos.
Passo 2
Primeiro, vamos encontrar os pontos de equilíbrio. Esses pontos são onde o sistema não muda, ou seja, onde e simultaneamente.
Então, igualamos as equações a zero:
Passo 3
Usando a primeira equação , substituímos na segunda:
Isso nos dá .
Passo 4
Portanto, o único ponto de equilíbrio é .
Agora, vamos analisar a natureza desse ponto. Para isso, vamos linearizar o sistema ao redor do ponto de equilíbrio usando a matriz Jacobiana.
A matriz Jacobiana para o sistema é dada por:
Onde e .
Passo 5
Calculando as derivadas parciais:
No ponto de equilíbrio , substituímos e :
Passo 6
Agora, encontramos os autovalores da matriz Jacobiana resolvendo o determinante:
Isso dá:
Calculando o determinante:
Passo 7
Resolvemos a equação quadrática para lambda:
Resposta
Os autovalores são complexos com parte real positiva. Isso significa que o ponto de equilíbrio é um nó espiral instável. Portanto, próximas soluções irão divergir do ponto de equilíbrio de forma oscilatória.