A equação de van der Pol: d x / d t = y, d y / d t = (1 - x^2) y - x

Passo 1

Então, vamos dar uma olhada no que o problema está nos pedindo. Temos um sistema de equações diferenciais chamado equação de van der Pol:
Esse tipo de sistema faz parte da matéria de Equações Diferenciais e Sistemas Dinâmicos. Para resolver, vamos precisar encontrar os pontos de equilíbrio e analisar o comportamento do sistema nesses pontos.

Passo 2

Primeiro, vamos encontrar os pontos de equilíbrio. Esses pontos são onde o sistema não muda, ou seja, onde e simultaneamente.
Então, igualamos as equações a zero:

Passo 3

Usando a primeira equação , substituímos na segunda:
Isso nos dá x = 0.

Passo 4

Portanto, o único ponto de equilíbrio é .
Agora, vamos analisar a natureza desse ponto. Para isso, vamos linearizar o sistema ao redor do ponto de equilíbrio usando a matriz Jacobiana.
A matriz Jacobiana J para o sistema é dada por:
Onde e .

Passo 5

Calculando as derivadas parciais:
No ponto de equilíbrio , substituímos x = 0 e :

Passo 6

Agora, encontramos os autovalores da matriz Jacobiana resolvendo o determinante:
Isso dá:
Calculando o determinante:

Passo 7

Resolvemos a equação quadrática para lambda:

Resposta

Os autovalores são complexos com parte real positiva. Isso significa que o ponto de equilíbrio é um nó espiral instável. Portanto, próximas soluções irão divergir do ponto de equilíbrio de forma oscilatória.

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