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Calcule o volume do conjunto dado:
a) A = {(x, y, z) em R^3 ; 0 <= x <= 1, 0 <= y <= 1, 0 <= z <= x + 2y}

Passo 1

Beleza, vamos lá! A gente precisa calcular o volume de um conjunto no espaço tridimensional. O enunciado define o conjunto com três restrições para , e . Para resolver isso, vamos usar o conceito de integrais triplas, que ajuda a encontrar volumes em 3D.

Passo 2

Primeiro, vamos entender os limites de integração para cada variável:
  • varia de 0 a 1.
  • também varia de 0 a 1.
  • Para cada par , varia de 0 até .

Passo 3

Agora, vamos montar a integral tripla que representa o volume:
Começamos integrando em relação a . A integral de de 0 a é simplesmente .

Passo 4

Em seguida, integramos o resultado em relação a :

Passo 5

Por último, integramos em relação a :

Resposta

O volume do conjunto é unidades cúbicas.

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