Calcule , sendo
e) e é o paralelogramo de , e (2,0).
Passo 1
Vamos lá! A questão pede para calcular a integral dupla de sobre a região , que é um paralelogramo definido pelos pontos , e . Para resolver isso, vamos usar mudança de variáveis e entender um pouco sobre como calcular integrais em regiões diferentes.
Passo 2
Primeiro, precisamos identificar os vetores que formam o paralelogramo. Observando os pontos dados:
De para , temos o vetor .
De para , temos o vetor .
Esses dois vetores definem o paralelogramo .
Passo 3
Agora, vamos fazer uma mudança de variáveis para simplificar a integração. Vamos expressar e em termos de novos parâmetros e :
Aqui, e vão variar de 0 a 1 para cobrir todo o paralelogramo.
Passo 4
Precisamos calcular o determinante jacobiano dessa transformação para ajustar a área durante a mudança de variáveis. O jacobiano é dado por:
[
J =