Calcule , sendo
e) e é o paralelogramo de , e (2,0).
Passo 1
Vamos lá! A questão pede para calcular a integral dupla de sobre a região , que é um paralelogramo definido pelos pontos , e . Para resolver isso, vamos usar mudança de variáveis e entender um pouco sobre como calcular integrais em regiões diferentes.
Passo 2
Primeiro, precisamos identificar os vetores que formam o paralelogramo. Observando os pontos dados:
De para , temos o vetor .
De para , temos o vetor .
Esses dois vetores definem o paralelogramo .
Passo 3
Agora, vamos fazer uma mudança de variáveis para simplificar a integração. Vamos expressar e em termos de novos parâmetros e :
Aqui, e vão variar de 0 a 1 para cobrir todo o paralelogramo.
Passo 4
Precisamos calcular o determinante jacobiano dessa transformação para ajustar a área durante a mudança de variáveis. O jacobiano é dado por:
[
J =
= (2)(-1) - (1)(0) = -2
]
O valor absoluto do jacobiano é .
Passo 5
Agora, substituímos f(x, y) = x + y = (1 + 2u + v) + (1 - v) = 2 + 2u e integral duplaB f(x, y) , dx, dy = integral0^1 integral0^1 (2 + 2u) cdot 2 , dv , du na função :
A integral dupla fica:
Passo 6
Vamos integrar em relação a integral0^1 (2 + 2u) cdot 2 , dv = (2 + 2u) cdot 2 cdot integral0^1 dv = (2 + 2u) cdot 2 cdot 1 = 4 + 4u primeiro:
Passo 7
Agora, integramos em relação a integral0^1 (4 + 4u) , du = 4u + 2u^2 gr|0^1 = 4(1) + 2(1)^2 - [0 + 0] = 4 + 2 = 6 :