Calcule , sendo
e) e é o paralelogramo de , e (2,0).

Passo 1

Vamos lá! A questão pede para calcular a integral dupla de sobre a região , que é um paralelogramo definido pelos pontos , e . Para resolver isso, vamos usar mudança de variáveis e entender um pouco sobre como calcular integrais em regiões diferentes.

Passo 2

Primeiro, precisamos identificar os vetores que formam o paralelogramo. Observando os pontos dados:
  • De para , temos o vetor .
  • De para , temos o vetor .
Esses dois vetores definem o paralelogramo .

Passo 3

Agora, vamos fazer uma mudança de variáveis para simplificar a integração. Vamos expressar e em termos de novos parâmetros e :
Aqui, e vão variar de 0 a 1 para cobrir todo o paralelogramo.

Passo 4

Precisamos calcular o determinante jacobiano dessa transformação para ajustar a área durante a mudança de variáveis. O jacobiano é dado por:
[
J =


= (2)(-1) - (1)(0) = -2
]
O valor absoluto do jacobiano é .

Passo 5

Agora, substituímos e na função :
A integral dupla fica:

Passo 6

Vamos integrar em relação a primeiro:

Passo 7

Agora, integramos em relação a :

Resposta

A integral dupla vale 6.

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Calcule o volume do conjunto dado:
f)
16
Calcule o volume do conjunto dado:
a)
(a) Mostre que
Calcular a integral definida de 3 maneiras:
(ii) utilizando o significado geométrico da integral definida e seus conhecimentos de áreas de figuras planas para calcular esta integral dada. ( 1 ponto)