Calcule integral duplaB f(x, y) d x d y, sendo
e) f(x, y)=x+y e A é o paralelogramo de 2 d de(3), (1,1),(3,1) e (2,0).

Passo 1

Vamos lá! A questão pede para calcular a integral dupla de sobre a região , que é um paralelogramo definido pelos pontos , e . Para resolver isso, vamos usar mudança de variáveis e entender um pouco sobre como calcular integrais em regiões diferentes.

Passo 2

Primeiro, precisamos identificar os vetores que formam o paralelogramo. Observando os pontos dados:
  • De para , temos o vetor .
  • De para , temos o vetor .
Esses dois vetores definem o paralelogramo .

Passo 3

Agora, vamos fazer uma mudança de variáveis para simplificar a integração. Vamos expressar x = 1 + 2u + v y = 1 - v e em termos de novos parâmetros e :
Aqui, e vão variar de 0 a 1 para cobrir todo o paralelogramo.

Passo 4

Precisamos calcular o determinante jacobiano dessa transformação para ajustar a área durante a mudança de variáveis. O jacobiano J = partial xpartial u & partial xpartial v partial ypartial u & partial ypartial v = 2 & 1 0 & -1 = (2)(-1) - (1)(0) = -2 é dado por:
[
J =


= (2)(-1) - (1)(0) = -2
]
O valor absoluto do jacobiano é .

Passo 5

Agora, substituímos f(x, y) = x + y = (1 + 2u + v) + (1 - v) = 2 + 2u e integral duplaB f(x, y) , dx, dy = integral0^1 integral0^1 (2 + 2u) cdot 2 , dv , du na função :
A integral dupla fica:

Passo 6

Vamos integrar em relação a integral0^1 (2 + 2u) cdot 2 , dv = (2 + 2u) cdot 2 cdot integral0^1 dv = (2 + 2u) cdot 2 cdot 1 = 4 + 4u primeiro:

Passo 7

Agora, integramos em relação a integral0^1 (4 + 4u) , du = 4u + 2u^2 gr|0^1 = 4(1) + 2(1)^2 - [0 + 0] = 4 + 2 = 6 :

Resposta

A integral dupla vale 6.

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