Encontre a solução para as EDOs abaixo
(j)

Passo 1

Vamos entender o que o exercício está pedindo. Temos uma Equação Diferencial Ordinária (EDO) de quarta ordem:
Isso significa que precisamos encontrar uma função cuja quarta derivada menos duas vezes a segunda derivada mais a própria função seja igual a zero. Para resolver isso, vamos usar métodos de equações diferenciais lineares com coeficientes constantes, especificamente através da equação característica.

Passo 2

Primeiro, para resolver uma EDO com coeficientes constantes como esta, é comum assumir que a solução tem a forma , onde é uma constante a ser determinada. Vamos calcular as derivadas necessárias:

Passo 3

Substituindo essas expressões na EDO original:
Podemos fatorar (que nunca é zero):
Isso simplifica para:

Passo 4

Agora, temos uma equação polinomial de quarta grau em . Podemos notar que essa equação é quadrática em termos de . Vamos fazer a substituição :

Passo 5

Resolvendo a equação quadrática:
Portanto, . Voltando à substituição :

Passo 6

Observe que cada raiz e tem multiplicidade 2, pois a equação original era de quarto grau e obtivemos duas soluções repetidas.
Assim, as soluções fundamentais são:

Resposta

A solução geral da equação diferencial é:
Onde e são constantes arbitrárias.

Exercícios relacionados

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(i)
Nos Problemas abaixo, a função indicada é uma solução da equação diferencial dada. Use redução de ordem, conforme foi ensinado, para encontrar uma segunda solução .
(h)
16
Calcule o volume do conjunto dado:
a)
Calcule o volume do conjunto dado:
f)