Encontre a solução para as EDOs abaixo
(j)
(j)
Passo 1
Vamos entender o que o exercício está pedindo. Temos uma Equação Diferencial Ordinária (EDO) de quarta ordem:
Isso significa que precisamos encontrar uma função
cuja quarta derivada menos duas vezes a segunda derivada mais a própria função seja igual a zero. Para resolver isso, vamos usar métodos de equações diferenciais lineares com coeficientes constantes, especificamente através da equação característica.
Passo 2
Primeiro, para resolver uma EDO com coeficientes constantes como esta, é comum assumir que a solução tem a forma
, onde
é uma constante a ser determinada. Vamos calcular as derivadas necessárias:
Passo 3
Substituindo essas expressões na EDO original:
Podemos fatorar
(que nunca é zero):
Isso simplifica para:
Passo 4
Agora, temos uma equação polinomial de quarta grau em
. Podemos notar que essa equação é quadrática em termos de
. Vamos fazer a substituição
:
Passo 5
Resolvendo a equação quadrática:
Portanto,
. Voltando à substituição
:
Passo 6
Observe que cada raiz
e
tem multiplicidade 2, pois a equação original era de quarto grau e obtivemos duas soluções repetidas.
Assim, as soluções fundamentais são:
Resposta
A solução geral da equação diferencial
é:
Onde
e
são constantes arbitrárias.
Exercícios relacionados
Encontre a solução para as EDOs abaixo
(i)
(i)
Nos Problemas abaixo, a função indicada
é uma solução da equação diferencial dada. Use redução de ordem, conforme foi ensinado, para encontrar uma segunda solução
.
(h)
(h)
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Calcule o volume do conjunto dado:
a)
Calcule o volume do conjunto dado:
a)
Calcule o volume do conjunto dado:
f)
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