16
Determinar um
cujo núcleo seja gerado pelos polinômios
e
.
Determinar um
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A questão pede para encontrar uma transformação linear
que vai de
para
. Aqui,
é o espaço dos polinômios de grau até 3, e
é o espaço dos polinômios de grau até 2. A gente precisa que o núcleo dessa transformação, ou seja, o conjunto de polinômios que são enviados para zero por
, seja gerado pelos polinômios
e
. Para resolver isso, vamos precisar entender um pouco sobre transformações lineares, núcleo de uma transformação e como construir uma transformação que atenda a essas condições.
Passo 2
Primeiro, vamos relembrar o que é uma transformação linear. Uma transformação linear
entre dois espaços vetoriais
e
satisfaz duas propriedades:
-
para todos (adição). -
para todo escalar e todo (multiplicação por escalar).
No nosso caso,
e
.
Passo 3
O núcleo de uma transformação linear
, denotado por
, é o conjunto de todos os vetores em
que são enviados para o vetor zero em
. Ou seja,
.
O enunciado nos diz que o núcleo é gerado pelos polinômios
e
. Isso significa que qualquer polinômio no núcleo pode ser escrito como uma combinação linear desses dois polinômios.
Passo 4
Para construir a transformação linear
, vamos escolher uma base para
e outra para
. Vamos usar as bases padrão:
- Para
: - Para
:
Nosso objetivo é definir como
age em cada elemento da base de
.
Passo 5
Sabemos que os vetores no núcleo de
devem ser mapeados para zero. Então, queremos que:
Vamos expressar isso em termos das imagens de cada base:
Passo 6
Agora, precisamos determinar
e
em termos de
. Da primeira equação:
Da segunda equação:
Passo 7
Como ainda não definimos
, vamos deixar
, onde
são constantes que precisamos determinar.
Da nossa transformação linear, se
, então:
Passo 8
Para que
seja uma transformação linear válida, precisamos garantir que as imagens dos vetores formem um sistema consistente. Vamos escolher
para ser, por exemplo,
, ou seja:
Assim:
Podemos escolher
livremente, já que não há restrições adicionais. Vamos escolher
para simplificar.
Passo 9
Com essas escolhas, temos:
Agora, qualquer polinômio
será transformado por
da seguinte forma:
Passo 10
Portanto, a transformação linear
que atende às condições do exercício é:
Resposta
A transformação linear
que satisfaz as condições do exercício é dada por:
Exercícios relacionados
Dadas as matrizes
, calcule as matrizes,
Determine a função polinomial de grau dois tal que
Dadas as matrizes
, calcule as matrizes,
Dado o PVI:
.
b) Calcule uma estimativa para 0 erro.
b) Calcule uma estimativa para 0 erro.