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Determinar um T in L(P3(R), P2(R)) cujo núcleo seja gerado pelos polinômios 1+x^3 e 1-x^2.

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A questão pede para encontrar uma transformação linear que vai de para . Aqui, é o espaço dos polinômios de grau até 3, e é o espaço dos polinômios de grau até 2. A gente precisa que o núcleo dessa transformação, ou seja, o conjunto de polinômios que são enviados para zero por , seja gerado pelos polinômios e . Para resolver isso, vamos precisar entender um pouco sobre transformações lineares, núcleo de uma transformação e como construir uma transformação que atenda a essas condições.

Passo 2

Primeiro, vamos relembrar o que é uma transformação linear. Uma transformação linear entre dois espaços vetoriais e satisfaz duas propriedades:
  1. para todos (adição).
  2. para todo escalar e todo (multiplicação por escalar).
No nosso caso, e .

Passo 3

O núcleo de uma transformação linear , denotado por , é o conjunto de todos os vetores em que são enviados para o vetor zero em . Ou seja, .
O enunciado nos diz que o núcleo é gerado pelos polinômios e . Isso significa que qualquer polinômio no núcleo pode ser escrito como uma combinação linear desses dois polinômios.

Passo 4

Para construir a transformação linear , vamos escolher uma base para e outra para . Vamos usar as bases padrão:
  • Para :
  • Para :
Nosso objetivo é definir como age em cada elemento da base de .

Passo 5

Sabemos que os vetores no núcleo de T(1 + x^3) = 0 devem ser mapeados para zero. Então, queremos que:
T(1 - x^2) = 0
T(1) + T(x^3) = 0
Vamos expressar isso em termos das imagens de cada base:
T(1) - T(x^2) = 0

Passo 6

Agora, precisamos determinar T(x^3) = -T(1) e T(x^2) = T(1) em termos de . Da primeira equação:
Da segunda equação:

Passo 7

Como ainda não definimos T(1) = d + e x + f x^2 , vamos deixar T(x^2) = d + e x + f x^2 , onde T(x^3) = -d - e x - f x^2 são constantes que precisamos determinar.
Da nossa transformação linear, se , então:

Passo 8

Para que T(1) = 1 seja uma transformação linear válida, precisamos garantir que as imagens dos vetores formem um sistema consistente. Vamos escolher T(x^2) = 1 para ser, por exemplo, T(x^3) = -1 , ou seja:
T(x) = a + b x + c x^2
Assim:
Podemos escolher livremente, já que não há restrições adicionais. Vamos escolher para simplificar.

Passo 9

Com essas escolhas, temos:
T(1) = 1
T(x) = x
T(x^2) = 1
T(x^3) = -1
Agora, qualquer polinômio T(p(x)) = alpha T(1) + beta T(x) + gamma T(x^2) + de será transformado por T(p(x)) = (alpha + gamma - de da seguinte forma:

Passo 10

Portanto, a transformação linear T(a + bx + cx^2 + dx^3) = (a + c - d) + b x que atende às condições do exercício é:

Resposta

A transformação linear T(a + bx + cx^2 + dx^3) = (a + c - d) + b x que satisfaz as condições do exercício é dada por:

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