Dado o PVI: d yd x=1-x+4 y, y(0)=1.
b) Calcule uma estimativa para 0 erro.

Passo 1

Beleza, vamos resolver o problema que você enviou! A gente tem uma equação diferencial ordinária (EDO) com uma condição inicial. O enunciado é:
dydx = 1 - x + 4y, y(0) = 1
Aqui, estamos lidando com equações diferenciais lineares de primeira ordem. Para resolver esse tipo de equação, vamos usar o fator integrante, que ajuda a simplificar a equação e encontrar a solução geral.

Passo 2

Primeiro, vamos reescrever a equação diferencial no formato padrão das equações lineares:
dydx + P(x) y = Q(x),
onde, comparando com a nossa equação:
P(x) = -4 e Q(x) = 1 - x

Passo 3

Agora, precisamos encontrar o fator integrante ( mu(x) = e^integral P(x) dx ), que é dado por:
mu(x) = e^integral -4 dx = e^-4x
Substituindo :

Passo 4

Multiplicamos toda a equação diferencial original pelo fator integrante e^-4x dydx - 4 e^-4x y = e^-4x (1 - x) :
ddx ( e^-4x y ) = e^-4x (1 - x)
Isso simplifica para:

Passo 5

Agora, vamos integrar ambos os lados da equação em relação a integral ddx ( e^-4x y ) dx = integral e^-4x (1 - x) dx :
e^-4x y = integral e^-4x (1 - x) dx + C,
O lado esquerdo simplifica para:
onde é a constante de integração.

Passo 6

Vamos resolver a integral no lado direito. Podemos dividir a integral em duas partes:
integral e^-4x (1 - x) dx = integral e^-4x dx - integral x e^-4x dx
Primeiro, resolvemos integral e^-4x dx = -14 e^-4x + C1 :
u = x Rightarrow du = dx,
Agora, resolvemos dv = e^-4x dx Rightarrow v = -14 e^-4x usando integração por partes, onde:
integral x e^-4x dx = -14 x e^-4x + 14 integral e^-4x dx = -14 x e^-4x - 116 e^-4x + C2
Aplicando a fórmula de integração por partes ( ):

Passo 7

Juntando tudo de volta na integral original:
integral e^-4x (1 - x) dx = -14 e^-4x - ( -14 x e^-4x - 116 e^-4x ) + C = ( -14 + 116 ) e^-4x + 14 x e^-4x + C
Simplificando os coeficientes:
-14 + 116 = -416 + 116 = -316
Então:
integral e^-4x (1 - x) dx = -316 e^-4x + 14 x e^-4x + C

Passo 8

Voltando à equação onde integrámos ambos os lados:
e^-4x y = -316 e^-4x + 14 x e^-4x + C
Agora, multiplicamos ambos os lados por y = -316 + 14 x + C e^4x para isolar :

Passo 9

Agora aplicamos a condição inicial 1 = -316 + 0 + C e^0 Rightarrow 1 = -316 + C Rightarrow C = 1 + 316 = 1916 para encontrar o valor de :

Resposta

A solução da equação diferencial é:
y(x) = 14 x - 316 + 1916 e^4x

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