Dado o PVI: .
b) Calcule uma estimativa para 0 erro.

Passo 1

Beleza, vamos resolver o problema que você enviou! A gente tem uma equação diferencial ordinária (EDO) com uma condição inicial. O enunciado é:
Aqui, estamos lidando com equações diferenciais lineares de primeira ordem. Para resolver esse tipo de equação, vamos usar o fator integrante, que ajuda a simplificar a equação e encontrar a solução geral.

Passo 2

Primeiro, vamos reescrever a equação diferencial no formato padrão das equações lineares:
onde, comparando com a nossa equação:

Passo 3

Agora, precisamos encontrar o fator integrante ( ), que é dado por:
Substituindo :

Passo 4

Multiplicamos toda a equação diferencial original pelo fator integrante :
Isso simplifica para:

Passo 5

Agora, vamos integrar ambos os lados da equação em relação a :
O lado esquerdo simplifica para:
onde é a constante de integração.

Passo 6

Vamos resolver a integral no lado direito. Podemos dividir a integral em duas partes:
Primeiro, resolvemos :
Agora, resolvemos usando integração por partes, onde:
Aplicando a fórmula de integração por partes ( ):

Passo 7

Juntando tudo de volta na integral original:
Simplificando os coeficientes:
Então:

Passo 8

Voltando à equação onde integrámos ambos os lados:
Agora, multiplicamos ambos os lados por para isolar :

Passo 9

Agora aplicamos a condição inicial para encontrar o valor de :

Resposta

A solução da equação diferencial é:

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