Determine a função polinomial de grau dois tal que
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa encontrar uma função polinomial de grau dois, ou seja, uma equação que tem a forma . A gente sabe três valores dessa função: , e . Para achar os coeficientes , e , vamos precisar usar um sistema de equações, que é basicamente resolver várias equações ao mesmo tempo para encontrar os valores que satisfazem todas elas.
Passo 2
Primeiro, vamos substituir cada um dos valores dados na forma geral da função para criar três equações. Isso quer dizer que:
Substituindo na função:
Substituindo :
Substituindo :
Agora, a gente tem um sistema de três equações com três incógnitas:
Passo 3
Para resolver esse sistema, vamos usar o m��todo da subtração para eliminar uma das variáveis. Primeiro, vamos subtrair a primeira equação da segunda e da terceira para eliminar o (9a + 3b + c) - (a + b + c) = 2 - 0 Rightarrow 8a + 2b = 2 .
Subtraindo a primeira equação da segunda:
(16a + 4b + c) - (a + b + c) = 6 - 0 Rightarrow 15a + 3b = 6
Subtraindo a primeira equação da terceira:
8a + 2b = 2 15a + 3b = 6
Agora, temos um sistema com duas equações e duas incógnitas:
Passo 4
Vamos simplificar esse sistema para facilitar. Podemos dividir a primeira equação por 2 e a segunda por 3:
4a + b = 1 5a + b = 2
Agora, vamos subtrair a primeira equação da segunda para eliminar o (5a + b) - (4a + b) = 2 - 1 Rightarrow a = 1 :
Passo 5
Com o valor de 4(1) + b = 1 Rightarrow 4 + b = 1 Rightarrow b = -3 , podemos substituir na primeira equação simplificada para encontrar :
Passo 6
Agora que temos 1 + (-3) + c = 0 Rightarrow -2 + c = 0 Rightarrow c = 2 e , vamos substituir esses valores na primeira equação original para encontrar :
Resposta
A função polinomial de grau dois que satisfaz as condições dadas é: