Determine a função polinomial de grau dois tal que
f(1)=0, f(3)=2 e f(4)=6

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa encontrar uma função polinomial de grau dois, ou seja, uma equação que tem a forma . A gente sabe três valores dessa função: , e . Para achar os coeficientes , e , vamos precisar usar um sistema de equações, que é basicamente resolver várias equações ao mesmo tempo para encontrar os valores que satisfazem todas elas.

Passo 2

Primeiro, vamos substituir cada um dos valores dados na forma geral da função para criar três equações. Isso quer dizer que:
  1. Substituindo f(1) = a(1)^2 + b(1) + c = 0 Rightarrow a + b + c = 0 na função:
    f(3) = a(3)^2 + b(3) + c = 2 Rightarrow 9a + 3b + c = 2
  2. Substituindo f(4) = a(4)^2 + b(4) + c = 6 Rightarrow 16a + 4b + c = 6 :
    a + b + c = 0 9a + 3b + c = 2 16a + 4b + c = 6
  3. Substituindo :
Agora, a gente tem um sistema de três equações com três incógnitas:

Passo 3

Para resolver esse sistema, vamos usar o m��todo da subtração para eliminar uma das variáveis. Primeiro, vamos subtrair a primeira equação da segunda e da terceira para eliminar o (9a + 3b + c) - (a + b + c) = 2 - 0 Rightarrow 8a + 2b = 2 .
Subtraindo a primeira equação da segunda:
(16a + 4b + c) - (a + b + c) = 6 - 0 Rightarrow 15a + 3b = 6
Subtraindo a primeira equação da terceira:
8a + 2b = 2 15a + 3b = 6
Agora, temos um sistema com duas equações e duas incógnitas:

Passo 4

Vamos simplificar esse sistema para facilitar. Podemos dividir a primeira equação por 2 e a segunda por 3:
4a + b = 1 5a + b = 2
Agora, vamos subtrair a primeira equação da segunda para eliminar o (5a + b) - (4a + b) = 2 - 1 Rightarrow a = 1 :

Passo 5

Com o valor de 4(1) + b = 1 Rightarrow 4 + b = 1 Rightarrow b = -3 , podemos substituir na primeira equação simplificada para encontrar :

Passo 6

Agora que temos 1 + (-3) + c = 0 Rightarrow -2 + c = 0 Rightarrow c = 2 e , vamos substituir esses valores na primeira equação original para encontrar :

Resposta

A função polinomial de grau dois que satisfaz as condições dadas é:
f(x) = x^2 - 3x + 2

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