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Mostre que o conjunto solução de um sistema linear homogêneo A X=0 com n incógnitas é um subespaço vetorial de R^n.

Passo 1

Beleza, vamos lá! A gente tem um sistema linear homogêneo da forma , onde é uma matriz, é o vetor de incógnitas com componentes, e o resultado é o vetor zero. A questão quer mostrar que todas as soluções desse sistema formam um subespaço vetorial de . Para resolver isso, vamos lembrar o que é um subespaço vetorial e quais propriedades precisamos verificar.

Passo 2

Primeiro, um subespaço vetorial é um conjunto de vetores que satisfaz três propriedades básicas:
  1. Contém o vetor zero.
  2. É fechado sob adição de vetores.
  3. É fechado sob multiplicação por escalar.
Então, vamos verificar cada uma dessas propriedades para o conjunto solução de .

Passo 3

Propriedade 1: Contém o vetor zero.
O vetor zero, , sempre é uma solução de porque . Assim, o conjunto solução inclui o vetor zero.

Passo 4

Propriedade 2: Fechamento sob adição.
Se temos duas soluções A (X1 + X2) = A X1 + A X2 = 0 + 0 = 0 e que satisfazem e , então a soma também deve satisfazer:
Portanto, a soma de duas soluções é também uma solução.

Passo 5

Propriedade 3: Fechamento sob multiplicação por escalar.
Se A (c X) = c (A X) = c 0 = 0 é uma solução, ou seja, , e é um escalar qualquer, então:
Assim, multiplicar uma solução por um escalar também resulta em uma solução.

Passo 6

Como verificamos que o conjunto solução contém o vetor zero, é fechado sob adição e sob multiplicação por escalar, podemos concluir que ele satisfaz todas as propriedades de um subespaço vetorial de .

Resposta

O conjunto solução de com incógnitas é, de fato, um subespaço vetorial de .

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