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Mostre que o conjunto solução de um sistema linear homogêneo
com
incógnitas é um subespaço vetorial de
.
Mostre que o conjunto solução de um sistema linear homogêneo
Passo 1
Beleza, vamos lá! A gente tem um sistema linear homogêneo da forma
, onde
é uma matriz,
é o vetor de incógnitas com
componentes, e o resultado é o vetor zero. A questão quer mostrar que todas as soluções desse sistema formam um subespaço vetorial de
. Para resolver isso, vamos lembrar o que é um subespaço vetorial e quais propriedades precisamos verificar.
Passo 2
Primeiro, um subespaço vetorial é um conjunto de vetores que satisfaz três propriedades básicas:
- Contém o vetor zero.
- É fechado sob adição de vetores.
- É fechado sob multiplicação por escalar.
Então, vamos verificar cada uma dessas propriedades para o conjunto solução de
.
Passo 3
Propriedade 1: Contém o vetor zero.
O vetor zero,
, sempre é uma solução de
porque
. Assim, o conjunto solução inclui o vetor zero.
Passo 4
Propriedade 2: Fechamento sob adição.
Se temos duas soluções
e
que satisfazem
e
, então a soma
também deve satisfazer:
Portanto, a soma de duas soluções é também uma solução.
Passo 5
Propriedade 3: Fechamento sob multiplicação por escalar.
Se
é uma solução, ou seja,
, e
é um escalar qualquer, então:
Assim, multiplicar uma solução por um escalar também resulta em uma solução.
Passo 6
Como verificamos que o conjunto solução contém o vetor zero, é fechado sob adição e sob multiplicação por escalar, podemos concluir que ele satisfaz todas as propriedades de um subespaço vetorial de
.
Resposta
O conjunto solução de
com
incógnitas é, de fato, um subespaço vetorial de
.
Exercícios relacionados
Apresente uma base para os seguintes subespaços vetoriais:
(d)
(d)
Considere a reta
e o plano
.
© Determine a equação paramétrica da reta que é a projeção ortogonal da reta
sobre o plano
, isto é
está contida no plano
.
© Determine a equação paramétrica da reta
Sejam
e
bases de
, onde
(b) Sabendo que
, encontre
.
16
Encontre os possíveis valores de para que
seja uma base de
.
Encontre os possíveis valores de