16.1. Mostre que
é uma solução da equação linear
e que
é uma solução da equação não linear
16.2. Mostre que, para qualquer constante
, a função
é uma solução da equação (3), enquanto
é uma solução da equação (4) apenas quando
ou 1.
16.3. Mostre que, para qualquer equação linear na forma
se
é uma solução, então, para qualquer constante
, a função
também é solução.
16.3. Mostre que, para qualquer equação linear na forma
Passo 1
Beleza, vamos lá! O exercício que você me enviou tem três partes e está relacionado a equações diferenciais, tanto lineares quanto não lineares. A gente vai precisar saber como verificar se uma função é solução de uma equação diferencial e entender um pouco sobre propriedades das soluções dessas equações. Vamos resolver passo a passo cada parte do exercício.
Passo 2
Primeiro, vamos olhar para a parte 16.1. Ela pede para mostrar que
é uma solução da equação linear:
E que
é uma solução da equação não linear:
Para verificar se uma função é solução de uma equação diferencial, a gente substitui a função e suas derivadas na equação e vê se a igualdade se sustenta.
Para a primeira equação linear:
- Calcule a derivada de
:
- Substitua
e na equação:
- Simplifique:
Isso confirma que
é realmente uma solução da equação linear dada.
Passo 3
Agora, vamos verificar a segunda parte da 16.1, que é mostrar que
é solução da equação não linear:
- Calcule a derivada de
:
- Substitua
e na equação:
- Simplifique:
Portanto,
também é uma solução da equação não linear dada.
Passo 4
Vamos para a parte 16.2, que diz:
Mostre que, para qualquer constante
, a função
é uma solução da equação (3), enquanto
é uma solução da equação (4) apenas quando
ou
.
Primeiro, vamos lembrar das equações:
Equação (3):
Equação (4):
Para
na equação (3):
- Calcule a derivada de
:
- Substitua
e na equação:
- Simplifique:
Então,
é solução da equação (3) para qualquer valor de
.
Para
na equação (4):
- Calcule a derivada de
:
- Substitua
e na equação:
- Para que isso seja válido para todo
, o numerador deve ser zero:
- Soluções:
Então,
é solução da equação (4) apenas quando
ou
.
Passo 5
Finalmente, vamos para a parte 16.3:
Mostre que, para qualquer equação linear na forma
se
é uma solução, então, para qualquer constante
, a função
também é solução.
Para provar isso, vamos substituir
na equação e verificar se a igualdade se sustenta.
- Calcule a derivada de
:
- Substitua
e na equação:
- Sabemos que
é solução da equação, então:
- Portanto:
Isso confirma que
também é uma solução da equação linear dada para qualquer constante
.
Resposta
Resolvemos todas as partes do exercício, mostrando que
e
são soluções das respectivas equações diferenciais, que
é solução para qualquer
na equação linear, enquanto
só é solução quando
ou
, e que para qualquer equação linear da forma dada, qualquer múltiplo da solução também é solução.