16.1. Mostre que y = e^(-x) é uma solução da equação linear
d/y + y = 0
e que y = x^(-1) é uma solução da equação não linear
d y/d x + y^2 = 0
16.2. Mostre que, para qualquer constante C, a função C e^(-x) é uma solução da equação (3), enquanto C x^(-1) é uma solução da equação (4) apenas quando C=0 ou 1.
16.3. Mostre que, para qualquer equação linear na forma
d y/d x + P(x) y = 0
se y(x) é uma solução, então, para qualquer constante C, a função C y barra (x) também é solução.

Passo 1

Beleza, vamos lá! O exercício que você me enviou tem três partes e está relacionado a equações diferenciais, tanto lineares quanto não lineares. A gente vai precisar saber como verificar se uma função é solução de uma equação diferencial e entender um pouco sobre propriedades das soluções dessas equações. Vamos resolver passo a passo cada parte do exercício.

Passo 2

Primeiro, vamos olhar para a parte 16.1. Ela pede para mostrar que é uma solução da equação linear:
E que é uma solução da equação não linear:
Para verificar se uma função é solução de uma equação diferencial, a gente substitui a função e suas derivadas na equação e vê se a igualdade se sustenta.
Para a primeira equação linear:
  1. Calcule a derivada de :
  1. Substitua e na equação:
  1. Simplifique:
Isso confirma que é realmente uma solução da equação linear dada.

Passo 3

Agora, vamos verificar a segunda parte da 16.1, que é mostrar que é solução da equação não linear:
  1. Calcule a derivada de :
  1. Substitua e na equação:
  1. Simplifique:
Portanto, também é uma solução da equação não linear dada.

Passo 4

Vamos para a parte 16.2, que diz:
Mostre que, para qualquer constante , a função é uma solução da equação (3), enquanto é uma solução da equação (4) apenas quando ou .
Primeiro, vamos lembrar das equações:
Equação (3):
Equação (4):
Para na equação (3):
  1. Calcule a derivada de :
  1. Substitua e na equação:
  1. Simplifique:
Então, é solução da equação (3) para qualquer valor de .
Para na equação (4):
  1. Calcule a derivada de :
  1. Substitua e na equação:
  1. Para que isso seja válido para todo , o numerador deve ser zero:
  1. Soluções:
Então, é solução da equação (4) apenas quando ou .

Passo 5

Finalmente, vamos para a parte 16.3:
Mostre que, para qualquer equação linear na forma
se é uma solução, então, para qualquer constante , a função também é solução.
Para provar isso, vamos substituir na equação e verificar se a igualdade se sustenta.
  1. Calcule a derivada de :
  1. Substitua e na equação:
  1. Sabemos que é solução da equação, então:
  1. Portanto:
Isso confirma que também é uma solução da equação linear dada para qualquer constante .

Resposta

Resolvemos todas as partes do exercício, mostrando que e são soluções das respectivas equações diferenciais, que é solução para qualquer na equação linear, enquanto só é solução quando ou , e que para qualquer equação linear da forma dada, qualquer múltiplo da solução também é solução.

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