Um método natural para modelar a temperatura dentro de um prédio é usar a análise comportamental. Considere que
represente a temperatura no instante
e veja o prédio como um único comportamento. Então, a taxa de mudança na temperatura é determinada por todos os fatores que geram ou dissipam calor.
Vamos considerar três fatores principais que afetam a temperatura dentro do prédio. O primeiro é o calor produzido por pessoas, lâmpadas e máquinas. Isso causa uma taxa de aumento na temperatura que será indicada por
. O segundo é o aquecimento (ou resfriamento) fornecido pelo aquecedor (ou ar-condicionado). Essa taxa de aumento (ou diminuição) na temperatura será representada por
. Em geral, a taxa de aquecimento adicional
e a do aquecedor (ou ar-condicionado)
são descritas em termos da energia por unidade de tempo (com unidades térmicas britânicas por hora). Porém, multiplicando pela capacidade de calor do prédio (em unidades de mudança de temperaturas em graus por unidade de energia de calor), podemos expressar as duas quantidades
e
em termos de temperatura por unidade de tempo.
O terceiro fator é o efeito da temperatura externa
sobre a de dentro do prédio. A evidência experimental tem mostrado que esse fator pode ser modelado usando a Lei de resfriamento de Newton. Essa lei afirma que a taxa de mudança na temperatura
é proporcional à diferença entre a temperatura externa
e a interna
. Ou seja, a taxa de mudança na temperatura do prédio devido a
é
A constante positiva
depende das propriedades físicas do prédio, como o número de portas e janelas e o tipo de isolamento, mas
não depende de
ou
. Logo quando a temperatura externa é maior que a interna,
e há um aumento na temperatura do prédio causado por
. Por outro lado, quando a temperatura externa é menor que a interna, então
e a temperatura do prédio diminui.
Resumindo, encontramos
em que a taxa de aquecimento adicional
é sempre não negativa e
é positiva para o aquecimento (causado pelo aquecedor) e negativa para o resfriamento (causado pelo ar-condicionado).
33.1. Mostre que a solução de (21) é dada por
33.2. Suponha, ao final do dia (no instante
), quando as pessoas saem do prédio, que a temperatura externa permaneça constante em
, mas a taxa de aquecimento adicional
dentro do prédio seja zero e a taxa do aquecedor/ar-condicionado
seja zero. Determine
, dada a condição inicial
.
Vamos considerar três fatores principais que afetam a temperatura dentro do prédio. O primeiro é o calor produzido por pessoas, lâmpadas e máquinas. Isso causa uma taxa de aumento na temperatura que será indicada por
O terceiro fator é o efeito da temperatura externa
Resumindo, encontramos
33.1. Mostre que a solução de (21) é dada por
Passo 1
Beleza, vamos lá! O enunciado fala sobre como modelar a temperatura dentro de um prédio usando equações diferenciais. A gente vai mexer com a taxa de mudança da temperatura, considerando três fatores principais: calor interno (
), aquecimento ou resfriamento externo (
) e a influência da temperatura externa (
) segundo a Lei de Resfriamento de Newton. Para resolver isso, vamos precisar usar conceitos de equações diferenciais lineares e técnicas de integração.
Passo 2
Primeiro, vamos olhar para a equação que descreve a taxa de mudança da temperatura no prédio:
Aqui,
é uma constante que depende das propriedades do prédio, como isolamento. A ideia é encontrar uma solução para
, ou seja, como a temperatura muda ao longo do tempo.
Passo 3
Para resolver essa equação diferencial, vamos reorganizar os termos para colocá-la na forma padrão de uma equação linear:
Isso facilita a aplicação de métodos de resolução para equações diferenciais lineares.
Passo 4
Agora, precisamos encontrar o fator integrante, que é uma função que vai nos ajudar a simplificar a equação. O fator integrante (
) é dado por:
Onde
é o coeficiente de
na equação padrão, que neste caso é
. Então:
Passo 5
Multiplicamos toda a equação pela
para tornar o lado esquerdo da equação uma derivada perfeita:
Isso porque a derivada do produto
é exatamente o que temos no lado esquerdo.
Passo 6
Agora, podemos escrever o lado esquerdo como a derivada do produto:
Isso simplifica a equação, tornando mais fácil integrar ambos os lados.
Passo 7
Integramos ambos os lados em relação ao tempo
:
A integral do lado esquerdo simplesmente retorna o próprio produto:
Onde
é a constante de integração.
Passo 8
Agora, isolamos
dividindo ambos os lados por
:
E voilà! Essa é a solução geral da equação diferencial dada.
Passo 9
Agora, vamos para a segunda parte do exercício. O cenário é que, no instante
, as pessoas saem do prédio, a temperatura externa permanece constante em
, e as taxas
e
são zero. Queremos encontrar
com a condição inicial
.
Passo 10
Com as condições dadas, simplificamos a equação original. Como
(constante), e
,
, a equação fica:
Passo 11
Reorganizamos para a forma padrão:
Passo 12
Encontramos o fator integrante novamente:
Passo 13
Multiplicamos toda a equação pelo fator integrante:
Passo 14
Escrevemos o lado esquerdo como a derivada do produto:
Passo 15
Integramos ambos os lados:
A integral do lado direito é:
Passo 16
Então, temos:
Dividindo por
:
Passo 17
Aplicamos a condição inicial
para encontrar
:
Resolvendo para
:
Passo 18
Substituímos
na equação de
:
Resposta
A temperatura no tempo
é
Exercícios relacionados
como um modelo para o crescimento populacional em 1838. Ele referiu-se a ele como o crescimento logístico. Desta forma considere a equação de Verhulst ou Equação Logística na forma
onde
. A constante
é chamada de taxa de crescimento intrínseca, isto é, a taxa de crescimento na ausência de qualquer fator limitador. Observe que a equação (11) é uma equação de Bernoulli. Desta forma dê a solução desta equação com a condição inicial
.
desempenha um papel importante em dinâmica populacional, um campo responsável pela modelagem da evolução ao longo do tempo
de populações de plantas, animais e seres humanos. Se
, então a equação acima assume a forma
Neste caso, sua solução é
e corresponde ao crescimento exponencial, como o que se aplicava a uma pequena população num país extenso ( como os EUA há muito tempo atrás!). Essa é a chamada Lei de Malthus. Encontre a solução geral para a (1).
onde
é a massa das células do tumor no instante
. Este modelo concorda muito bem com as observações clínicas. O declíneo da taxa de crescimento que surge quando
fica maior que 1 corresponde ao fato de que as células no interior de um tumor podem morrer por causa da insuficiência de oxigênio e nutrientes. Resolva esta equação diferencial.
Sugestão: Use variáveis separáveis.
Sugestão: Use variáveis separáveis.
16.1. Mostre que
é uma solução da equação linear
e que
é uma solução da equação não linear
16.2. Mostre que, para qualquer constante
, a função
é uma solução da equação (3), enquanto
é uma solução da equação (4) apenas quando
ou 1.
16.3. Mostre que, para qualquer equação linear na forma
16.3. Mostre que, para qualquer equação linear na forma
se
é uma solução, então, para qualquer constante
, a função
também é solução.