d Td t= 1-T & , se a unidade de aquecimento estiver LIGADA -T & , se a unidade de aquecimento estiver DESLIGADA
Assim, faça:
11.1. Encontre uma solução para a equação diferencial quando a unidade de aquecimento estiver ligada;
11.2. Encontre uma solução para a equação diferencial quando a unidade de aquecimento estiver desligada;

Passo 1

Beleza, vamos lá! A gente tem uma equação diferencial que descreve como a temperatura muda ao longo do tempo . Dependendo se a unidade de aquecimento está ligada ou desligada, a equação muda. Vamos resolver as duas situações:
  1. Aquecimento Ligado:
  2. Aquecimento Desligado:
Vamos precisar usar equações diferenciais de primeira ordem e método do fator integrante para resolver essas equações.

Passo 2

11.1. Quando a unidade de aquecimento está ligada ( d Tdt + T = 1 )
Primeiro, reescrevemos a equação para ficar no formato padrão das equações lineares:
mu(t) = e^integral 1 , dt = e^t
Agora, encontramos o fator integrante. Esse fator ajuda a transformar a equação diferencial em uma forma que podemos integrar facilmente. O fator integrante e^t d Tdt + e^t T = e^t é dado por:
ddt (T e^t) = e^t
Multiplicamos toda a equação por esse fator:
T e^t = integral e^t , dt + C implies T e^t = e^t + C
Percebemos que o lado esquerdo é a derivada de T = 1 + C e^-t :
Integrando ambos os lados em relação ao tempo :
Finalmente, isolamos :

Passo 3

11.2. Quando a unidade de aquecimento está desligada ( T(t) = C e^-t )
Essa equação é mais simples. Ela diz que a taxa de mudança da temperatura é proporcional à própria temperatura, mas com sinal negativo. A solução geral para essa equação é:

Resposta

11.1. Quando a unidade de aquecimento está ligada, a solução da equação diferencial é:
T(t) = 1 + C e^-t
11.2. Quando a unidade de aquecimento está desligada, a solução da equação diferencial é:
T(t) = C e^-t

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