Assim, faça:
11.1. Encontre uma solução para a equação diferencial quando a unidade de aquecimento estiver ligada;
11.2. Encontre uma solução para a equação diferencial quando a unidade de aquecimento estiver desligada;
11.1. Encontre uma solução para a equação diferencial quando a unidade de aquecimento estiver ligada;
11.2. Encontre uma solução para a equação diferencial quando a unidade de aquecimento estiver desligada;
Passo 1
Beleza, vamos lá! A gente tem uma equação diferencial que descreve como a temperatura
muda ao longo do tempo
. Dependendo se a unidade de aquecimento está ligada ou desligada, a equação muda. Vamos resolver as duas situações:
- Aquecimento Ligado:
- Aquecimento Desligado:
Vamos precisar usar equações diferenciais de primeira ordem e método do fator integrante para resolver essas equações.
Passo 2
11.1. Quando a unidade de aquecimento está ligada (
)
Primeiro, reescrevemos a equação para ficar no formato padrão das equações lineares:
Agora, encontramos o fator integrante. Esse fator ajuda a transformar a equação diferencial em uma forma que podemos integrar facilmente. O fator integrante
é dado por:
Multiplicamos toda a equação por esse fator:
Percebemos que o lado esquerdo é a derivada de
:
Integrando ambos os lados em relação ao tempo
:
Finalmente, isolamos
:
Passo 3
11.2. Quando a unidade de aquecimento está desligada (
)
Essa equação é mais simples. Ela diz que a taxa de mudança da temperatura é proporcional à própria temperatura, mas com sinal negativo. A solução geral para essa equação é:
Resposta
11.1. Quando a unidade de aquecimento está ligada, a solução da equação diferencial é:
11.2. Quando a unidade de aquecimento está desligada, a solução da equação diferencial é:
Exercícios relacionados
onde
, e
são constantes, podemos querer determinar a relação entre
e
em vez das soluções individuais
. Para essa finalidade, divida a primeira equação pela segunda equação para obter
Essa nova equação é homogênea, de modo que podemos resolvê-la pela substituição
. Referimos-nos às soluções de (20) como curvas integrais. Determine as curvas integrais para o sistema
16.1. Mostre que
é uma solução da equação linear
e que
é uma solução da equação não linear
16.2. Mostre que, para qualquer constante
, a função
é uma solução da equação (3), enquanto
é uma solução da equação (4) apenas quando
ou 1.
16.3. Mostre que, para qualquer equação linear na forma
16.3. Mostre que, para qualquer equação linear na forma
se
é uma solução, então, para qualquer constante
, a função
também é solução.
onde
é a constante de proporcionalidade cujo valor depende da mercadoria em estudo. Resolva a equação diferencial expressando a oferta e a demanda como funções lineares simples em relação ao preço:
onde
é a temperatura no prédio num instante
é a temperatura externa,
é a temperatura desejada para o prédio,
é a taxa de aumento de
decorrente do funcionamento de máquinas e da presença de pessoas no prédio, e
e
são constantes (negativas). Resolva essa EDO, supondo que
constante,
constante, e
varie senoidalmente ao longo de 24h, digamos