Assim, faça:
11.1. Encontre uma solução para a equação diferencial quando a unidade de aquecimento estiver ligada;
11.2. Encontre uma solução para a equação diferencial quando a unidade de aquecimento estiver desligada;
11.1. Encontre uma solução para a equação diferencial quando a unidade de aquecimento estiver ligada;
11.2. Encontre uma solução para a equação diferencial quando a unidade de aquecimento estiver desligada;
Passo 1
Beleza, vamos lá! A gente tem uma equação diferencial que descreve como a temperatura
muda ao longo do tempo
. Dependendo se a unidade de aquecimento está ligada ou desligada, a equação muda. Vamos resolver as duas situações:
- Aquecimento Ligado:
- Aquecimento Desligado:
Vamos precisar usar equações diferenciais de primeira ordem e método do fator integrante para resolver essas equações.
Passo 2
11.1. Quando a unidade de aquecimento está ligada (
)
Primeiro, reescrevemos a equação para ficar no formato padrão das equações lineares:
Agora, encontramos o fator integrante. Esse fator ajuda a transformar a equação diferencial em uma forma que podemos integrar facilmente. O fator integrante
é dado por:
Multiplicamos toda a equação por esse fator:
Percebemos que o lado esquerdo é a derivada de
:
Integrando ambos os lados em relação ao tempo
:
Finalmente, isolamos
:
Passo 3
11.2. Quando a unidade de aquecimento está desligada (
)
Essa equação é mais simples. Ela diz que a taxa de mudança da temperatura é proporcional à própria temperatura, mas com sinal negativo. A solução geral para essa equação é:
Resposta
11.1. Quando a unidade de aquecimento está ligada, a solução da equação diferencial é:
11.2. Quando a unidade de aquecimento está desligada, a solução da equação diferencial é: