onde , e são constantes, podemos querer determinar a relação entre e em vez das soluções individuais . Para essa finalidade, divida a primeira equação pela segunda equação para obter
Essa nova equação é homogênea, de modo que podemos resolvê-la pela substituição . Referimos-nos às soluções de (20) como curvas integrais. Determine as curvas integrais para o sistema

Passo 1

Vamos resolver o sistema de equações diferenciais fornecido:
O objetivo é determinar as curvas integrais desse sistema, ou seja, a relação entre e que descreve o comportamento conjunto das variáveis ao longo do tempo. Para isso, utilizaremos conceitos de equações diferenciais homogêneas e a substituição .

Passo 2

Primeiro, vamos dividir a primeira equação pela segunda para eliminar o tempo e obter uma equação que relaciona diretamente e :
Essa equação nos dá a taxa de variação de em relação a .

Passo 3

Observamos que a equação obtida é homogênea, ou seja, os termos de e têm o mesmo grau. Isso nos permite fazer a substituição , onde é uma função de . Com isso, expressamos como .

Passo 4

Agora, derivamos em relação a usando a regra do produto:
Substituindo isso na equação original, temos:

Passo 5

Simplificamos a equação substituindo e cancelando (assumindo ):
Agora, isolamos a derivada :

Passo 6

Simplificamos o lado direito da equação:
Portanto:

Passo 7

Rearranjamos a equação para separação de variáveis:
Agora, integramos ambos os lados da equação.

Passo 8

Primeiro, fatoramos o denominador:
Então, a integral fica:
Simplificamos a fração à esquerda usando frações parciais.

Passo 9

Expressamos como:
Multiplicando ambos os lados por :
Para encontrar e , escolhemos valores de :
  • Se :
  • Se :

Passo 10

Substituindo e na integral, temos:
Integrando ambos os lados:
Onde é a constante de integração.

Passo 11

Substituímos de volta na equação:
Podemos rearranjar a equação para expressar em função de , mas geralmente deixamos a resposta na forma implícita.

Resposta

As curvas integrais do sistema são definidas implicitamente por:
Onde é uma constante arbitrária.

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16.1. Mostre que é uma solução da equação linear
e que é uma solução da equação não linear
16.2. Mostre que, para qualquer constante , a função é uma solução da equação (3), enquanto é uma solução da equação (4) apenas quando ou 1.
16.3. Mostre que, para qualquer equação linear na forma
se é uma solução, então, para qualquer constante , a função também é solução.
onde é a massa das células do tumor no instante . Este modelo concorda muito bem com as observações clínicas. O declíneo da taxa de crescimento que surge quando fica maior que 1 corresponde ao fato de que as células no interior de um tumor podem morrer por causa da insuficiência de oxigênio e nutrientes. Resolva esta equação diferencial.
Sugestão: Use variáveis separáveis.
Assim, faça:
11.1. Encontre uma solução para a equação diferencial quando a unidade de aquecimento estiver ligada;
11.2. Encontre uma solução para a equação diferencial quando a unidade de aquecimento estiver desligada;
onde é a constante de proporcionalidade cujo valor depende da mercadoria em estudo. Resolva a equação diferencial expressando a oferta e a demanda como funções lineares simples em relação ao preço: