d/dt y = a x + b y, d/dt x = α x + β y
onde a, b, alfa, e beta são constantes, podemos querer determinar a relação entre x e y em vez das soluções individuais x(t), y(t). Para essa finalidade, divida a primeira equação pela segunda equação para obter
d y/d x = (a x + b y) / (alpha x + beta y)
Essa nova equação é homogênea, de modo que podemos resolvê-la pela substituição v = y/x. Referimos-nos às soluções de (20) como curvas integrais. Determine as curvas integrais para o sistema
d y/d t = -4 x - y; d x/d t = 2 x - y

Passo 1

Vamos resolver o sistema de equações diferenciais fornecido:
O objetivo é determinar as curvas integrais desse sistema, ou seja, a relação entre e que descreve o comportamento conjunto das variáveis ao longo do tempo. Para isso, utilizaremos conceitos de equações diferenciais homogêneas e a substituição .

Passo 2

Primeiro, vamos dividir a primeira equação pela segunda para eliminar o tempo e obter uma equação que relaciona diretamente e :
Essa equação nos dá a taxa de variação de em relação a .

Passo 3

Observamos que a equação obtida é homogênea, ou seja, os termos de e têm o mesmo grau. Isso nos permite fazer a substituição , onde é uma função de . Com isso, expressamos como .

Passo 4

Agora, derivamos em relação a usando a regra do produto:
Substituindo isso na equação original, temos:

Passo 5

Simplificamos a equação substituindo e cancelando (assumindo ):
Agora, isolamos a derivada :

Passo 6

Simplificamos o lado direito da equação:
Portanto:

Passo 7

Rearranjamos a equação para separação de variáveis:
Agora, integramos ambos os lados da equação.

Passo 8

Primeiro, fatoramos o denominador:
Então, a integral fica:
Simplificamos a fração à esquerda usando frações parciais.

Passo 9

Expressamos como:
Multiplicando ambos os lados por :
Para encontrar e , escolhemos valores de :
  • Se :
  • Se :

Passo 10

Substituindo e na integral, temos:
Integrando ambos os lados:
Onde é a constante de integração.

Passo 11

Substituímos de volta na equação:
Podemos rearranjar a equação para expressar em função de , mas geralmente deixamos a resposta na forma implícita.

Resposta

As curvas integrais do sistema são definidas implicitamente por:
Onde é uma constante arbitrária.

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