onde , e são constantes, podemos querer determinar a relação entre e em vez das soluções individuais . Para essa finalidade, divida a primeira equação pela segunda equação para obter
Essa nova equação é homogênea, de modo que podemos resolvê-la pela substituição . Referimos-nos às soluções de (20) como curvas integrais. Determine as curvas integrais para o sistema
Passo 1
Vamos resolver o sistema de equações diferenciais fornecido:
O objetivo é determinar as curvas integrais desse sistema, ou seja, a relação entre e que descreve o comportamento conjunto das variáveis ao longo do tempo. Para isso, utilizaremos conceitos de equações diferenciais homogêneas e a substituição .
Passo 2
Primeiro, vamos dividir a primeira equação pela segunda para eliminar o tempo e obter uma equação que relaciona diretamente e :
Essa equação nos dá a taxa de variação de em relação a .
Passo 3
Observamos que a equação obtida é homogênea, ou seja, os termos de e têm o mesmo grau. Isso nos permite fazer a substituição , onde é uma função de . Com isso, expressamos como .
Passo 4
Agora, derivamos em relação a usando a regra do produto:
Substituindo isso na equação original, temos:
Passo 5
Simplificamos a equação substituindo e cancelando (assumindo ):
Agora, isolamos a derivada :
Passo 6
Simplificamos o lado direito da equação:
Portanto:
Passo 7
Rearranjamos a equação para separação de variáveis:
Agora, integramos ambos os lados da equação.
Passo 8
Primeiro, fatoramos o denominador:
Então, a integral fica:
Simplificamos a fração à esquerda usando frações parciais.
Passo 9
Expressamos como:
Multiplicando ambos os lados por :
Para encontrar e , escolhemos valores de :
Se :
Se :
Passo 10
Substituindo e na integral, temos:
Integrando ambos os lados:
Onde é a constante de integração.
Passo 11
Substituímos de volta na equação:
Podemos rearranjar a equação para expressar em função de , mas geralmente deixamos a resposta na forma implícita.
Resposta
As curvas integrais do sistema são definidas implicitamente por: