y' = -A y ln(y) (A > 0)
onde y(t) é a massa das células do tumor no instante t. Este modelo concorda muito bem com as observações clínicas. O declíneo da taxa de crescimento que surge quando y fica maior que 1 corresponde ao fato de que as células no interior de um tumor podem morrer por causa da insuficiência de oxigênio e nutrientes. Resolva esta equação diferencial.
Sugestão: Use variáveis separáveis.

Passo 1

Vamos resolver a equação diferencial dada:
Aqui, y(t) representa a massa das células do tumor no instante t. O conteúdo envolvido é o de equações diferenciais, especificamente usando o método de separação de variáveis. Para resolver, vamos precisar separar as variáveis y e t e integrar ambos os lados da equação.

Passo 2

Primeiro, vamos reescrever a equação de modo que todas as expressões envolvendo y fiquem de um lado e as que envolvem t do outro. Dividimos ambos os lados por e multiplicamos por :

Passo 3

Agora, temos as variáveis separadas, então podemos integrar ambos os lados da equação. A ideia aqui é encontrar as antiderivadas de cada lado:

Passo 4

Vamos resolver a integral do lado esquerdo. Para isso, fazemos uma substituição para simplificar:
Seja , então .
Substituindo na integral:
Onde C é a constante de integração.

Passo 5

Agora, resolvemos a integral do lado direito:
Aqui, C também é uma constante de integração, que podemos combinar com a constante do outro lado.

Passo 6

Juntando as integrais resolvidas:
Podemos simplificar removendo o valor absoluto, já que geralmente é positivo em contextos biológicos.

Passo 7

Vamos isolar exponenciando ambos os lados da equação:
Podemos simplificar escrevendo como uma nova constante D:

Passo 8

Finalmente, para encontrar y(t), exponenciamos novamente ambos os lados:
Aqui, é uma constante que pode ser determinada se tivermos uma condição inicial.

Resposta

A solução geral da equação diferencial é:
onde D é uma constante arbitrária determinada pela condição inicial do problema.

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