onde é a massa das células do tumor no instante . Este modelo concorda muito bem com as observações clínicas. O declíneo da taxa de crescimento que surge quando fica maior que 1 corresponde ao fato de que as células no interior de um tumor podem morrer por causa da insuficiência de oxigênio e nutrientes. Resolva esta equação diferencial.
Sugestão: Use variáveis separáveis.

Passo 1

Vamos resolver a equação diferencial dada:
Aqui, representa a massa das células do tumor no instante . O conteúdo envolvido é o de equações diferenciais, especificamente usando o método de separação de variáveis. Para resolver, vamos precisar separar as variáveis e e integrar ambos os lados da equação.

Passo 2

Primeiro, vamos reescrever a equação de modo que todas as expressões envolvendo fiquem de um lado e as que envolvem do outro. Dividimos ambos os lados por e multiplicamos por :

Passo 3

Agora, temos as variáveis separadas, então podemos integrar ambos os lados da equação. A ideia aqui é encontrar as antiderivadas de cada lado:

Passo 4

Vamos resolver a integral do lado esquerdo. Para isso, fazemos uma substituição para simplificar:
Seja , então .
Substituindo na integral:
Onde é a constante de integração.

Passo 5

Agora, resolvemos a integral do lado direito:
Aqui, também é uma constante de integração, que podemos combinar com a constante do outro lado.

Passo 6

Juntando as integrais resolvidas:
Podemos simplificar removendo o valor absoluto, já que geralmente é positivo em contextos biológicos.

Passo 7

Vamos isolar exponenciando ambos os lados da equação:
Podemos simplificar escrevendo como uma nova constante :

Passo 8

Finalmente, para encontrar , exponenciamos novamente ambos os lados:
Aqui, é uma constante que pode ser determinada se tivermos uma condição inicial.

Resposta

A solução geral da equação diferencial é:
onde é uma constante arbitrária determinada pela condição inicial do problema.

Exercícios relacionados

Um método natural para modelar a temperatura dentro de um prédio é usar a análise comportamental. Considere que represente a temperatura no instante e veja o prédio como um único comportamento. Então, a taxa de mudança na temperatura é determinada por todos os fatores que geram ou dissipam calor.
Vamos considerar três fatores principais que afetam a temperatura dentro do prédio. O primeiro é o calor produzido por pessoas, lâmpadas e máquinas. Isso causa uma taxa de aumento na temperatura que será indicada por . O segundo é o aquecimento (ou resfriamento) fornecido pelo aquecedor (ou ar-condicionado). Essa taxa de aumento (ou diminuição) na temperatura será representada por . Em geral, a taxa de aquecimento adicional e a do aquecedor (ou ar-condicionado) são descritas em termos da energia por unidade de tempo (com unidades térmicas britânicas por hora). Porém, multiplicando pela capacidade de calor do prédio (em unidades de mudança de temperaturas em graus por unidade de energia de calor), podemos expressar as duas quantidades e em termos de temperatura por unidade de tempo.
O terceiro fator é o efeito da temperatura externa sobre a de dentro do prédio. A evidência experimental tem mostrado que esse fator pode ser modelado usando a Lei de resfriamento de Newton. Essa lei afirma que a taxa de mudança na temperatura é proporcional à diferença entre a temperatura externa e a interna . Ou seja, a taxa de mudança na temperatura do prédio devido a é
A constante positiva depende das propriedades físicas do prédio, como o número de portas e janelas e o tipo de isolamento, mas não depende de ou . Logo quando a temperatura externa é maior que a interna, e há um aumento na temperatura do prédio causado por . Por outro lado, quando a temperatura externa é menor que a interna, então e a temperatura do prédio diminui.
Resumindo, encontramos
em que a taxa de aquecimento adicional é sempre não negativa e é positiva para o aquecimento (causado pelo aquecedor) e negativa para o resfriamento (causado pelo ar-condicionado).
33.1. Mostre que a solução de (21) é dada por
33.2. Suponha, ao final do dia (no instante ), quando as pessoas saem do prédio, que a temperatura externa permaneça constante em , mas a taxa de aquecimento adicional dentro do prédio seja zero e a taxa do aquecedor/ar-condicionado seja zero. Determine , dada a condição inicial .
como um modelo para o crescimento populacional em 1838. Ele referiu-se a ele como o crescimento logístico. Desta forma considere a equação de Verhulst ou Equação Logística na forma
onde . A constante é chamada de taxa de crescimento intrínseca, isto é, a taxa de crescimento na ausência de qualquer fator limitador. Observe que a equação (11) é uma equação de Bernoulli. Desta forma dê a solução desta equação com a condição inicial .
16.1. Mostre que é uma solução da equação linear
e que é uma solução da equação não linear
16.2. Mostre que, para qualquer constante , a função é uma solução da equação (3), enquanto é uma solução da equação (4) apenas quando ou 1.
16.3. Mostre que, para qualquer equação linear na forma
se é uma solução, então, para qualquer constante , a função também é solução.
onde , e são constantes, podemos querer determinar a relação entre e em vez das soluções individuais . Para essa finalidade, divida a primeira equação pela segunda equação para obter
Essa nova equação é homogênea, de modo que podemos resolvê-la pela substituição . Referimos-nos às soluções de (20) como curvas integrais. Determine as curvas integrais para o sistema