onde
é a massa das células do tumor no instante
. Este modelo concorda muito bem com as observações clínicas. O declíneo da taxa de crescimento que surge quando
fica maior que 1 corresponde ao fato de que as células no interior de um tumor podem morrer por causa da insuficiência de oxigênio e nutrientes. Resolva esta equação diferencial.
Sugestão: Use variáveis separáveis.
Sugestão: Use variáveis separáveis.
Passo 1
Vamos resolver a equação diferencial dada:
Aqui,
representa a massa das células do tumor no instante
. O conteúdo envolvido é o de equações diferenciais, especificamente usando o método de separação de variáveis. Para resolver, vamos precisar separar as variáveis
e
e integrar ambos os lados da equação.
Passo 2
Primeiro, vamos reescrever a equação de modo que todas as expressões envolvendo
fiquem de um lado e as que envolvem
do outro. Dividimos ambos os lados por
e multiplicamos por
:
Passo 3
Agora, temos as variáveis separadas, então podemos integrar ambos os lados da equação. A ideia aqui é encontrar as antiderivadas de cada lado:
Passo 4
Vamos resolver a integral do lado esquerdo. Para isso, fazemos uma substituição para simplificar:
Seja , então
.
Substituindo na integral:
Seja
Substituindo na integral:
Onde
é a constante de integração.
Passo 5
Agora, resolvemos a integral do lado direito:
Aqui,
também é uma constante de integração, que podemos combinar com a constante do outro lado.
Passo 6
Juntando as integrais resolvidas:
Podemos simplificar removendo o valor absoluto, já que
geralmente é positivo em contextos biológicos.
Passo 7
Vamos isolar
exponenciando ambos os lados da equação:
Podemos simplificar escrevendo
como uma nova constante
:
Passo 8
Finalmente, para encontrar
, exponenciamos novamente ambos os lados:
Aqui,
é uma constante que pode ser determinada se tivermos uma condição inicial.
Resposta
A solução geral da equação diferencial é:
onde
é uma constante arbitrária determinada pela condição inicial do problema.