integral0^1 f(x) d x, onde f(x)= 1x^2, & se 0

Passo 1

Então, a gente tem que calcular a integral definida de de 0 a 1, ou seja, . A função é dada de duas formas: para , ela é igual a , e no ponto , ela é igual a 2. Vamos precisar usar o conceito de integrais impróprias porque a função tem um comportamento especial em .

Passo 2

Primeiro, vamos olhar a função . Para todo entre 0 e 1, exceto exatamente em 0, a função é . No ponto 0, a função vale 2. Mas como a gente está integrando de 0 a 1, o valor exatamente em 0 não vai influenciar na integral, já que é apenas um ponto. Então, podemos focar na parte .

Passo 3

Agora, precisamos integrar de 0 a 1. Mas aí vem o problema: quando se aproxima de 0, cresce sem limites. Isso significa que a integral pode não ter um valor finito. Por isso, a gente trata essa integral como uma integral imprópria.

Passo 4

Vamos calcular o limite quando integral0^1 1x^2 , dx = lima to 0^+ integrala^1 1x^2 , dx se aproxima de 0 pela direita:
lima to 0^+ [ -1x ]a^1 = lima to 0^+ ( -1 + 1a )
A integral de -1 + 1a to +infty é , então:
À medida que se aproxima de 0, vai para infinito. Então:

Resposta

A integral diverge para infinito, ou seja, o valor da integral é .

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