Passo 1

Beleza, vamos resolver a equação diferencial com as condições iniciais e . Esse tipo de equação é chamada de equação diferencial linear de segunda ordem com coeficientes constantes. Para resolver, vamos precisar encontrar as raízes da equação característica associada e, a partir daí, determinar a solução geral.

Passo 2

Primeiro, montamos a equação característica substituindo por , por e por 1. Assim, temos:

Passo 3

Agora, vamos resolver essa equação quadrática para encontrar os valores de . Usamos a fórmula de Bhaskara:
Aqui, , e . Substituindo:

Passo 4

Como as raízes são complexas da forma , a solução geral da equação diferencial é:
No nosso caso, e , então:

Passo 5

Agora, vamos usar as condições iniciais para encontrar os valores de e .
Primeiro, aplicamos :

Passo 6

Agora, vamos calcular para usar a segunda condição .
Primeiro, derivamos :
Usando a regra do produto:
Agora, aplicamos :

Resposta

A solução da equação diferencial é:

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Considere que seja o valor principal da potência complexa no domínio . Calcule o valor da derivada da função no ponto indicado:
Calcule todos os valores das potencias complexas abaixo. Identifique o valor principal:
Seja C definido por uma reta de até . Calcule a integral . Justifique sua resposta.
Seja C definido por . Calcule a integral . Justifique sua resposta