Passo 1
Beleza, vamos resolver a equação diferencial
com as condições iniciais
e
. Esse tipo de equação é chamada de equação diferencial linear de segunda ordem com coeficientes constantes. Para resolver, vamos precisar encontrar as raízes da equação característica associada e, a partir daí, determinar a solução geral.
Passo 2
Primeiro, montamos a equação característica substituindo
por
,
por
e
por 1. Assim, temos:
Passo 3
Agora, vamos resolver essa equação quadrática para encontrar os valores de
. Usamos a fórmula de Bhaskara:
Aqui,
,
e
. Substituindo:
Passo 4
Como as raízes são complexas da forma
, a solução geral da equação diferencial é:
No nosso caso,
e
, então:
Passo 5
Agora, vamos usar as condições iniciais para encontrar os valores de
e
.
Primeiro, aplicamos
:
Passo 6
Agora, vamos calcular
para usar a segunda condição
.
Primeiro, derivamos
:
Usando a regra do produto:
Agora, aplicamos
:
Resposta
A solução da equação diferencial é:
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Considere que
seja o valor principal da potência complexa no domínio
. Calcule o valor da derivada da função no ponto indicado:
Calcule todos os valores das potencias complexas abaixo. Identifique o valor principal:
Seja C definido por uma reta de
até
. Calcule a integral
. Justifique sua resposta.
Seja C definido por
. Calcule a integral
. Justifique sua resposta