Seja C definido por uma reta de
até
. Calcule a integral
. Justifique sua resposta.
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A questão pede para calcular a integral de uma função complexa ao longo de uma reta que vai de
até
. Vamos usar conceitos de cálculo de integrais em números complexos. Para isso, vamos precisar entender como parametrizar a reta de integração e como calcular a integral passo a passo.
Passo 2
Primeiro, vamos parametrizar a reta
que vai de
até
. Podemos fazer isso usando um parâmetro
que varia de 0 a 1. A parametrização fica:
Aqui, quando
,
, e quando
,
.
Passo 3
Agora, precisamos encontrar a derivada de
em relação a
, que é
:
Essa derivada nos dará o diferencial
:
Passo 4
Vamos expressar as partes reais
e imaginárias
de
. A expressão de
é:
Portanto:
Passo 5
Substituímos
e
na função integranda
:
Passo 6
Agora, a integral fica:
Passo 7
Vamos expandir o produto dentro da integral:
Calculando cada parte:
Juntando tudo:
Passo 8
Agora, agrupamos termos semelhantes:
Passo 9
Integrando termo a termo:
Vamos calcular cada integral separadamente.
Passo 10
Primeira integral:
Calculando
:
Avaliada de 0 a 1:
Calculando
:
Avaliada de 0 a 1:
Então, a primeira integral fica:
Passo 11
Segunda integral:
Já calculamos essas integrais no passo anterior:
Resposta
Somando as duas partes:
Portanto, a integral é: