Seja C definido por uma reta de z=1 até z=i. Calcule a integral integralC(x^2+i y^3) d z. Justifique sua resposta.

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A questão pede para calcular a integral de uma função complexa ao longo de uma reta que vai de até . Vamos usar conceitos de cálculo de integrais em números complexos. Para isso, vamos precisar entender como parametrizar a reta de integração e como calcular a integral passo a passo.

Passo 2

Primeiro, vamos parametrizar a reta z(t) = 1 + t(i - 1), t in [0, 1] que vai de até . Podemos fazer isso usando um parâmetro que varia de 0 a 1. A parametrização fica:
Aqui, quando , , e quando , .

Passo 3

Agora, precisamos encontrar a derivada de dzdt = i - 1 em relação a dz = (i - 1) dt , que é :
Essa derivada nos dará o diferencial :

Passo 4

Vamos expressar as partes reais z(t) = 1 + t(i - 1) = (1 - t) + it e imaginárias x(t) = 1 - t e y(t) = t de . A expressão de é:
Portanto:

Passo 5

Substituímos x^2 + i y^3 = (1 - t)^2 + i t^3 e na função integranda :

Passo 6

Agora, a integral fica:
integralC (x^2 + i y^3) dz = integral0^1 [ (1 - t)^2 + i t^3 ] (i - 1) dt

Passo 7

Vamos expandir o produto dentro da integral:
[ (1 - t)^2 + i t^3 ] (i - 1) = (1 - t)^2(i - 1) + i t^3(i - 1)
Calculando cada parte:
(1 - t)^2(i - 1) = (1 - t)^2 i - (1 - t)^2
i t^3(i - 1) = i^2 t^3 - i t^3 = -t^3 - i t^3
Juntando tudo:
(1 - t)^2 i - (1 - t)^2 - t^3 - i t^3 = i(1 - t)^2 - (1 - t)^2 - t^3 - i t^3

Passo 8

Agora, agrupamos termos semelhantes:
[i(1 - t)^2 - i t^3] + [ - (1 - t)^2 - t^3 ]
= i[(1 - t)^2 - t^3] - [(1 - t)^2 + t^3]

Passo 9

Integrando termo a termo:
integral0^1 i[(1 - t)^2 - t^3] dt - integral0^1 [(1 - t)^2 + t^3] dt
Vamos calcular cada integral separadamente.

Passo 10

Primeira integral:
i integral0^1 [(1 - t)^2 - t^3] dt = i [ integral0^1 (1 - t)^2 dt - integral0^1 t^3 dt ]
Calculando integral (1 - t)^2 dt = integral (1 - 2t + t^2) dt = t - t^2 + t^33 :
1 - 1 + 13 - (0 - 0 + 0) = 13
Avaliada de 0 a 1:
integral t^3 dt = t^44
Calculando 14 - 0 = 14 :
i ( 13 - 14 ) = i ( 412 - 312 ) = i ( 112 ) = i12
Avaliada de 0 a 1:
Então, a primeira integral fica:

Passo 11

Segunda integral:
- integral0^1 [(1 - t)^2 + t^3] dt = - [ integral0^1 (1 - t)^2 dt + integral0^1 t^3 dt ]
Já calculamos essas integrais no passo anterior:
- ( 13 + 14 ) = - ( 412 + 312 ) = - ( 712 ) = -712

Resposta

Somando as duas partes:
i12 - 712 = -712 + i12 = -7 + i12
Portanto, a integral é:
integralC (x^2 + i y^3) dz = -7 + i12

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