Seja C definido por
. Calcule a integral
. Justifique sua resposta
Passo 1
Beleza, vamos resolver a integral de
, onde a curva
é definida pelas equações paramétricas
,
com
variando de
a
.
Aqui, estamos lidando com integrais de funções complexas ao longo de uma curva no plano complexo. Para resolver isso, precisamos entender como parametrizar a curva, expressar a função integranda em termos do parâmetro
, e calcular a integral resultante usando essas expressões.
Passo 2
Primeiro, vamos parametrizar a curva
em termos de
. Sabemos que
, então usando as equações dadas:
Passo 3
Agora, precisamos encontrar a derivada de
em relação a
, que é
:
Passo 4
Também precisamos encontrar o conjugado de
, que é
:
Passo 5
Substituindo
e
na função integranda
:
Passo 6
Agora, a integral fica:
Vamos multiplicar os termos dentro da integral:
Simplificando:
Como
, continuamos:
Simplificando mais:
Agrupando termos semelhantes:
Passo 7
Agora, integramos termo a termo:
Calculando cada integral:
Substituindo os limites:
Simplificando:
Somando os termos reais e imaginários:
Resposta
A integral
vale
.
Exercícios relacionados
Seja C definido por uma reta de
até
. Calcule a integral
. Justifique sua resposta.
Nas questões de 15 a 17, calcule a integral no contorno fechado C indicado.
:
Determine a transformada de Laplace de: