Seja C definido por . Calcule a integral . Justifique sua resposta

Passo 1

Beleza, vamos resolver a integral de , onde a curva é definida pelas equações paramétricas , com variando de a .
Aqui, estamos lidando com integrais de funções complexas ao longo de uma curva no plano complexo. Para resolver isso, precisamos entender como parametrizar a curva, expressar a função integranda em termos do parâmetro , e calcular a integral resultante usando essas expressões.

Passo 2

Primeiro, vamos parametrizar a curva em termos de . Sabemos que , então usando as equações dadas:

Passo 3

Agora, precisamos encontrar a derivada de em relação a , que é :

Passo 4

Também precisamos encontrar o conjugado de , que é :

Passo 5

Substituindo e na função integranda :

Passo 6

Agora, a integral fica:
Vamos multiplicar os termos dentro da integral:
Simplificando:
Como , continuamos:
Simplificando mais:
Agrupando termos semelhantes:

Passo 7

Agora, integramos termo a termo:
Calculando cada integral:
Substituindo os limites:
Simplificando:
Somando os termos reais e imaginários:

Resposta

A integral vale .

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Nas questões de 15 a 17, calcule a integral no contorno fechado C indicado.
:
Determine a transformada de Laplace de: