Seja C definido por x=-t ; y=t^2+2 ; 0 <= t <= 2. Calcule a integral integralC(2 barz-z) d z. Justifique sua resposta

Passo 1

Beleza, vamos resolver a integral de integralC(2 barz - z) , dz, onde a curva C é definida pelas equações paramétricas x = -t, y = t^2 + 2 com t variando de 0 a 2.
Aqui, estamos lidando com integrais de funções complexas ao longo de uma curva no plano complexo. Para resolver isso, precisamos entender como parametrizar a curva, expressar a função integranda em termos do parâmetro t, e calcular a integral resultante usando essas expressões.

Passo 2

Primeiro, vamos parametrizar a curva C em termos de t. Sabemos que z = x + iy, então usando as equações dadas:
z(t) = x(t) + i y(t) = -t + i(t^2 + 2)

Passo 3

Agora, precisamos encontrar a derivada de z(t) em relação a t, que é dz/dt:
dzdt = ddt[-t + i(t^2 + 2)] = -1 + i(2t)

Passo 4

Também precisamos encontrar o conjugado de z(t), que é barz(t):
barz(t) = -t - i(t^2 + 2)

Passo 5

Substituindo barz(t) e z(t) na função integranda 2barz - z:
2barz - z = 2(-t - i(t^2 + 2)) - (-t + i(t^2 + 2)) = -2t - 2i(t^2 + 2) + t - i(t^2 + 2) = -t - 3i(t^2 + 2)

Passo 6

Agora, a integral fica:
integral0^2 [ -t - 3i(t^2 + 2) ] cdot [ -1 + i(2t) ] , dt
Vamos multiplicar os termos dentro da integral:
(-t)(-1) + (-t)(i2t) + (-3i(t^2 + 2))(-1) + (-3i(t^2 + 2))(i2t)
Simplificando:
t - 2it^2 + 3i(t^2 + 2) - 6i^2 t(t^2 + 2)
Como i^2 = -1, continuamos:
t - 2it^2 + 3it^2 + 6i - 6(-1)t(t^2 + 2) = t + it^2 + 6i + 6t(t^2 + 2)
Simplificando mais:
t + it^2 + 6i + 6t^3 + 12t
Agrupando termos semelhantes:
6t^3 + 13t + it^2 + 6i

Passo 7

Agora, integramos termo a termo:
integral0^2 6t^3 , dt + integral0^2 13t , dt + integral0^2 it^2 , dt + integral0^2 6i , dt
Calculando cada integral:
6 cdot [ t^44 ]0^2 + 13 cdot [ t^22 ]0^2 + i cdot [ t^33 ]0^2 + 6i cdot [ t ]0^2
Substituindo os limites:
6 cdot ( 164 - 0 ) + 13 cdot ( 42 - 0 ) + i cdot ( 83 - 0 ) + 6i cdot (2 - 0)
Simplificando:
6 cdot 4 + 13 cdot 2 + 83i + 12i = 24 + 26 + 83i + 12i
Somando os termos reais e imaginários:
50 + ( 83 + 12 )i = 50 + 443i

Resposta

A integral integralC(2 barz - z) , dz vale 50 + dfrac443i.

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