Considere que seja o valor principal da potência complexa no domínio . Calcule o valor da derivada da função no ponto indicado:

Passo 1

Beleza, vamos lá! O enunciado nos pede para calcular a derivada da função no ponto . Isso envolve conceitos de cálculo complexo, especificamente derivadas de funções de variáveis complexas. Para resolver, vamos precisar usar a definição da derivada para funções complexas e as propriedades das potências complexas.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar que para uma função da forma , onde é um número complexo, a derivada é dada por:
Isso é similar à regra de derivação das potências no cálculo real, mas aqui pode ser complexo.

Passo 3

No nosso caso, . Então, substituindo na fórmula da derivada:
Simplificamos .

Passo 4

Agora, precisamos calcular onde . Vamos expressar na forma polar para facilitar a potenciação. Primeiro, encontramos o módulo e o argumento de :
Então, em forma polar:

Passo 5

Usando a definição de potência complexa:
Separando a parte real e imaginária no expoente.

Passo 6

Simplificando a expressão usando :

Passo 7

Agora, voltamos à expressão da derivada:
Multiplicamos os termos para obter a forma final.

Passo 8

Realizando a multiplicação:
Separando as partes reais e imaginárias.

Resposta

A derivada da função no ponto é:

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Calcule todos os valores das potencias complexas abaixo. Identifique o valor principal:
  1. $y^{\prime \prime}+2 y^{\prime}+2 y=h(t) ; \
    y(0)=0, \quad y^{\prime}(0)=1 ; \
    h(t)=
    \end{aligned}
$$
Seja C definido por uma reta de até . Calcule a integral . Justifique sua resposta.