Considere que
seja o valor principal da potência complexa no domínio
. Calcule o valor da derivada da função no ponto indicado:
Passo 1
Beleza, vamos lá! O enunciado nos pede para calcular a derivada da função
no ponto
. Isso envolve conceitos de cálculo complexo, especificamente derivadas de funções de variáveis complexas. Para resolver, vamos precisar usar a definição da derivada para funções complexas e as propriedades das potências complexas.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar que para uma função da forma
, onde
é um número complexo, a derivada é dada por:
Isso é similar à regra de derivação das potências no cálculo real, mas aqui
pode ser complexo.
Passo 3
No nosso caso,
. Então, substituindo na fórmula da derivada:
Simplificamos
.
Passo 4
Agora, precisamos calcular
onde
. Vamos expressar
na forma polar para facilitar a potenciação. Primeiro, encontramos o módulo e o argumento de
:
Então, em forma polar:
Passo 5
Usando a definição de potência complexa:
Separando a parte real e imaginária no expoente.
Passo 6
Simplificando a expressão usando
:
Passo 7
Agora, voltamos à expressão da derivada:
Multiplicamos os termos para obter a forma final.
Passo 8
Realizando a multiplicação:
Separando as partes reais e imaginárias.
Resposta
A derivada da função
no ponto
é:
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Calcule todos os valores das potencias complexas abaixo. Identifique o valor principal:
- $y^{\prime \prime}+2 y^{\prime}+2 y=h(t) ; \
y(0)=0, \quad y^{\prime}(0)=1 ; \
h(t)=
\end{aligned}
$$
Seja C definido por uma reta de
até
. Calcule a integral
. Justifique sua resposta.