Considere que f(z) = z^α seja o valor principal da potência complexa no domínio |z| > 0 e - pi < arg(z) < pi. Calcule o valor da derivada da função no ponto indicado: (z)^(1+i) ; z=1+i*raiz(3)

Passo 1

Beleza, vamos lá! O enunciado nos pede para calcular a derivada da função no ponto . Isso envolve conceitos de cálculo complexo, especificamente derivadas de funções de variáveis complexas. Para resolver, vamos precisar usar a definição da derivada para funções complexas e as propriedades das potências complexas.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar que para uma função da forma , onde é um número complexo, a derivada é dada por:
Isso é similar à regra de derivação das potências no cálculo real, mas aqui pode ser complexo.

Passo 3

No nosso caso, . Então, substituindo na fórmula da derivada:
Simplificamos .

Passo 4

Agora, precisamos calcular onde . Vamos expressar na forma polar para facilitar a potenciação. Primeiro, encontramos o módulo e o argumento de :
Então, em forma polar:

Passo 5

Usando a definição de potência complexa:
Separando a parte real e imaginária no expoente.

Passo 6

Simplificando a expressão usando :

Passo 7

Agora, voltamos à expressão da derivada:
Multiplicamos os termos para obter a forma final.

Passo 8

Realizando a multiplicação:
Separando as partes reais e imaginárias.

Resposta

A derivada da função no ponto é:

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