Calcule todos os valores das potencias complexas abaixo. Identifique o valor principal: (-i)^i

Passo 1

Beleza, vamos resolver o exercício que pede para calcular todas as potências complexas de (-i)^i e identificar o valor principal. Aqui, estamos lidando com números complexos e vamos precisar usar fórmula de Euler e entender como funcionam as potências com expoentes complexos.

Passo 2

Primeiro, vamos reescrever o número complexo na forma exponencial usando a fórmula de Euler. Sabemos que qualquer número complexo pode ser escrito como , onde r é o módulo e theta é o argumento.
Para , o módulo r é 1 (porque ) e o argumento theta é , onde k é qualquer inteiro, já que o ângulo completo é e adicionamos múltiplos de para cobrir todas as possibilidades.
Então, temos:

Passo 3

Agora, vamos calcular (-i)^i usando a forma exponencial que encontramos:
Quando levantamos uma potência a outra potência, multiplicamos os expoentes:
Sabemos que , então:

Passo 4

Simplificando, temos que todas as soluções de (-i)^i são dados por:
Isso significa que existem infinitos valores para (-i)^i, dependendo do valor de k que escolhemos.

Passo 5

O valor principal é geralmente definido como o valor correspondente a . Então, substituindo na expressão acima:

Resposta

Todos os valores de (-i)^i são da forma , onde k é qualquer número inteiro. O valor principal é .

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