Calcule todos os valores das potencias complexas abaixo. Identifique o valor principal:
Passo 1
Beleza, vamos resolver o exercício que pede para calcular todas as potências complexas de
e identificar o valor principal. Aqui, estamos lidando com números complexos e vamos precisar usar fórmula de Euler e entender como funcionam as potências com expoentes complexos.
Passo 2
Primeiro, vamos reescrever o número complexo
na forma exponencial usando a fórmula de Euler. Sabemos que qualquer número complexo pode ser escrito como
, onde
é o módulo e
é o argumento.
Para
, o módulo
é 1 (porque
) e o argumento
é
, onde
é qualquer inteiro, já que o ângulo completo é
e adicionamos múltiplos de
para cobrir todas as possibilidades.
Então, temos:
Passo 3
Agora, vamos calcular
usando a forma exponencial que encontramos:
Quando levantamos uma potência a outra potência, multiplicamos os expoentes:
Sabemos que
, então:
Passo 4
Simplificando, temos que todas as soluções de
são dados por:
Isso significa que existem infinitos valores para
, dependendo do valor de
que escolhemos.
Passo 5
O valor principal é geralmente definido como o valor correspondente a
. Então, substituindo
na expressão acima:
Resposta
Todos os valores de
são da forma
, onde
é qualquer número inteiro. O valor principal é
.
Exercícios relacionados
- $y^{\prime \prime}+2 y^{\prime}+2 y=h(t) ; \
y(0)=0, \quad y^{\prime}(0)=1 ; \
h(t)=
\end{aligned}
$$
Calcule todos os valores de
que satisfazem a expressão:
Considere que
seja o valor principal da potência complexa no domínio
. Calcule o valor da derivada da função no ponto indicado: