Calcule todos os valores das potencias complexas abaixo. Identifique o valor principal:

Passo 1

Beleza, vamos resolver o exercício que pede para calcular todas as potências complexas de e identificar o valor principal. Aqui, estamos lidando com números complexos e vamos precisar usar fórmula de Euler e entender como funcionam as potências com expoentes complexos.

Passo 2

Primeiro, vamos reescrever o número complexo na forma exponencial usando a fórmula de Euler. Sabemos que qualquer número complexo pode ser escrito como , onde é o módulo e é o argumento.
Para , o módulo é 1 (porque ) e o argumento é , onde é qualquer inteiro, já que o ângulo completo é e adicionamos múltiplos de para cobrir todas as possibilidades.
Então, temos:

Passo 3

Agora, vamos calcular usando a forma exponencial que encontramos:
Quando levantamos uma potência a outra potência, multiplicamos os expoentes:
Sabemos que , então:

Passo 4

Simplificando, temos que todas as soluções de são dados por:
Isso significa que existem infinitos valores para , dependendo do valor de que escolhemos.

Passo 5

O valor principal é geralmente definido como o valor correspondente a . Então, substituindo na expressão acima:

Resposta

Todos os valores de são da forma , onde é qualquer número inteiro. O valor principal é .

Exercícios relacionados

  1. $y^{\prime \prime}+2 y^{\prime}+2 y=h(t) ; \
    y(0)=0, \quad y^{\prime}(0)=1 ; \
    h(t)=
    \end{aligned}
$$
Calcule todos os valores de que satisfazem a expressão:
Considere que seja o valor principal da potência complexa no domínio . Calcule o valor da derivada da função no ponto indicado: