17-18 Use um recurso gráfico para gerar o gráfico de r(t) e o gráfico da reta tangente em t0 na mesma tela.
17. r(t) = sen(pi t) i + t^2 j ; t0 = 1/2

Passo 1

Beleza, vamos resolver o exercício que pede para gerar o gráfico de uma função vetorial r(t) e a reta tangente a ela no ponto . Isso é parte de cálculo vetorial, onde trabalhamos com vetores que mudam com o tempo. Para isso, vamos precisar entender como encontrar a reta tangente a uma curva em um ponto específico.

Passo 2

Primeiro, vamos identificar a função vetorial dada:
Aqui, r(t) descreve uma posição no plano cartesiano em termos de t. A componente está na direção i (x) e t^2 na direção j (y).

Passo 3

Para traçar a reta tangente em , precisamos primeiro encontrar o vetor posição no ponto t0. Substituindo t0 na função:
Então, o ponto de tangência é .

Passo 4

Agora, precisamos encontrar a derivada da função vetorial r(t) para obter o vetor velocidade, que nos dará a direção da reta tangente:
A derivada nos diz como a posição muda com t.

Passo 5

Substituindo na derivada para encontrar o vetor velocidade no ponto de tangência:
Então, o vetor velocidade é .

Passo 6

A reta tangente pode ser expressa usando a equação vetorial:
Substituindo os valores encontrados:
Simplificando:

Passo 7

Agora, para gerar o gráfico, você pode usar uma ferramenta gráfica como o GeoGebra ou Desmos. Insira a função vetorial r(t) parametrizada por t e a equação da reta tangente T(t). Ajuste o intervalo de t para visualizar bem ambos os gráficos na mesma tela.

Resposta

A reta tangente à curva r(t) no ponto é dada por:
E ambos os gráficos podem ser visualizados na mesma tela usando uma ferramenta gráfica.

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