17-18 Use um recurso gráfico para gerar o gráfico de
e o gráfico da reta tangente em
na mesma tela.
17.
17.
Passo 1
Beleza, vamos resolver o exercício que pede para gerar o gráfico de uma função vetorial
e a reta tangente a ela no ponto
. Isso é parte de cálculo vetorial, onde trabalhamos com vetores que mudam com o tempo. Para isso, vamos precisar entender como encontrar a reta tangente a uma curva em um ponto específico.
Passo 2
Primeiro, vamos identificar a função vetorial dada:
Aqui,
descreve uma posição no plano cartesiano em termos de
. A componente
está na direção
(x) e
na direção
(y).
Passo 3
Para traçar a reta tangente em
, precisamos primeiro encontrar o vetor posição no ponto
. Substituindo
na função:
Então, o ponto de tangência é
.
Passo 4
Agora, precisamos encontrar a derivada da função vetorial
para obter o vetor velocidade, que nos dará a direção da reta tangente:
A derivada nos diz como a posição muda com
.
Passo 5
Substituindo
na derivada para encontrar o vetor velocidade no ponto de tangência:
Então, o vetor velocidade é
.
Passo 6
A reta tangente pode ser expressa usando a equação vetorial:
Substituindo os valores encontrados:
Simplificando:
Passo 7
Agora, para gerar o gráfico, você pode usar uma ferramenta gráfica como o GeoGebra ou Desmos. Insira a função vetorial
parametrizada por
e a equação da reta tangente
. Ajuste o intervalo de
para visualizar bem ambos os gráficos na mesma tela.
Resposta
A reta tangente à curva
no ponto
é dada por:
E ambos os gráficos podem ser visualizados na mesma tela usando uma ferramenta gráfica.