Determine a derivada direcional de f(x, y) = x / (x + y) em P(1, 0) na direção e sentido de P a Q(-1,-1).

Passo 1

Então, vamos começar resumindo o que precisamos fazer aqui. Temos a função e queremos encontrar a derivada direcional dessa função no ponto , na direção e sentido do ponto para o ponto . Para isso, vamos precisar calcular o vetor direção, a derivada parcial da função em relação a e , e então aplicar a fórmula da derivada direcional.

Passo 2

Primeiro, precisamos encontrar o vetor que aponta de para . Para isso, subtraímos as coordenadas de das coordenadas de :
Esse vetor indica a direção na qual queremos calcular a derivada direcional.

Passo 3

Agora, vamos normalizar o vetor direção, ou seja, transformar em um vetor unitário. A fórmula para normalizar um vetor é:
Calculando a norma de :
Então, o vetor unitário é:

Passo 4

Agora, precisamos encontrar as derivadas parciais da função em relação a e . Vamos calcular e .
Primeiro, para :
Usando a regra do quociente:
Agora, para :
Novamente, usando a regra do quociente:

Passo 5

Em seguida, avaliamos essas derivadas parciais no ponto .
Para :
Para :

Passo 6

Agora, aplicamos a fórmula da derivada direcional:
Substituindo os valores que encontramos:

Resposta

A derivada direcional de no ponto na direção de para é .

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