Determine a derivada direcional de
em
na direção e sentido de
a
.
Passo 1
Então, vamos começar resumindo o que precisamos fazer aqui. Temos a função
e queremos encontrar a derivada direcional dessa função no ponto
, na direção e sentido do ponto
para o ponto
. Para isso, vamos precisar calcular o vetor direção, a derivada parcial da função em relação a
e
, e então aplicar a fórmula da derivada direcional.
Passo 2
Primeiro, precisamos encontrar o vetor que aponta de
para
. Para isso, subtraímos as coordenadas de
das coordenadas de
:
Esse vetor indica a direção na qual queremos calcular a derivada direcional.
Passo 3
Agora, vamos normalizar o vetor direção, ou seja, transformar
em um vetor unitário. A fórmula para normalizar um vetor
é:
Calculando a norma de
:
Então, o vetor unitário
é:
Passo 4
Agora, precisamos encontrar as derivadas parciais da função
em relação a
e
. Vamos calcular
e
.
Primeiro, para
:
Usando a regra do quociente:
Agora, para
:
Novamente, usando a regra do quociente:
Passo 5
Em seguida, avaliamos essas derivadas parciais no ponto
.
Para
:
Para
:
Passo 6
Agora, aplicamos a fórmula da derivada direcional:
Substituindo os valores que encontramos:
Resposta
A derivada direcional de
no ponto
na direção de
para
é
.