Determine um vetor unitário na direção do qual f cresce mais rapidamente em P e obtenha a taxa de variação de f em P nessa direção.
(b) f(x, y, z) = x^3 * z^2 + y^3 * z + z - 1 ; P(1, 1, -1)

Passo 1

Vamos resolver um exercício de cálculo de gradiente em uma função de três variáveis. A questão pede para determinar um vetor unitário na direção em que a função cresce mais rapidamente no ponto e encontrar a taxa de variação de f nesse ponto nessa direção. Para isso, vamos precisar calcular o gradiente da função e normalizá-lo.

Passo 2

Primeiro, precisamos encontrar o gradiente da função f. O gradiente é um vetor que contém todas as derivadas parciais de f em relação às suas variáveis. Então, vamos calcular as derivadas parciais de f em relação a x, y e z.

Passo 3

Calculando as derivadas parciais:
  • Derivada parcial em relação a x:
  • Derivada parcial em relação a y:
  • Derivada parcial em relação a z:

Passo 4

Agora, avaliamos o gradiente no ponto . Substituindo x = 1, e nas derivadas parciais:
Portanto, o gradiente no ponto P é:

Passo 5

Para encontrar o vetor unitário na direção do gradiente, precisamos normalizar o vetor gradiente. Isso significa dividir o vetor pelo seu módulo (comprimento).
Primeiro, calculamos o módulo de :
Agora, normalizamos o vetor gradiente:

Resposta

O vetor unitário na direção em que f cresce mais rapidamente em é:
E a taxa de variação de f nesse ponto nessa direção é:

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