Determine um vetor unitário na direção do qual cresce mais rapidamente em obtenha a taxa de variação de em nessa direção.
(b)
Passo 1
Vamos resolver um exercício de cálculo de gradiente em uma função de três variáveis. A questão pede para determinar um vetor unitário na direção em que a função cresce mais rapidamente no ponto e encontrar a taxa de variação de nesse ponto nessa direção. Para isso, vamos precisar calcular o gradiente da função e normalizá-lo.
Passo 2
Primeiro, precisamos encontrar o gradiente da função . O gradiente é um vetor que contém todas as derivadas parciais de em relação às suas variáveis. Então, vamos calcular as derivadas parciais de em relação a , e .
Passo 3
Calculando as derivadas parciais:
Derivada parcial em relação a :
Derivada parcial em relação a :
Derivada parcial em relação a :
Passo 4
Agora, avaliamos o gradiente no ponto . Substituindo , e nas derivadas parciais:
Portanto, o gradiente no ponto P é:
Passo 5
Para encontrar o vetor unitário na direção do gradiente, precisamos normalizar o vetor gradiente. Isso significa dividir o vetor pelo seu módulo (comprimento).
Primeiro, calculamos o módulo de :
Agora, normalizamos o vetor gradiente:
Resposta
O vetor unitário na direção em que f cresce mais rapidamente em é:
E a taxa de variação de f nesse ponto nessa direção é: