Descreva o(s) intervalo(s) no(s) qual(is) a função é contínua. Explique por que a função é contínua no(s) intervalo(s). Se a função tiver uma descontinuidade, identifique as condições de continuidade que não são satisfeitas.
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Passo 1
Vamos analisar o enunciado: precisamos descobrir em quais intervalos a função
é contínua. Para isso, vamos trabalhar com conceitos de continuidade de funções, especialmente para funções definidas por partes. Nosso objetivo é verificar se a função não apresenta quebras ou saltos em todo o seu domínio.
Passo 2
Primeiro, vamos olhar para cada parte da função separadamente. A função está definida por:
Funções polinomiais, como
e
, são contínuas em todo o seu domínio. Portanto, dentro de cada intervalo definido (
e
), a função
é contínua.
Passo 3
Agora, precisamos verificar a continuidade no ponto onde a função muda de definição, ou seja, em
. Para que a função seja contínua nesse ponto, três condições devem ser satisfeitas:
- A função está definida em
. - O limite da função quando
se aproxima de 2 pela esquerda existe. - O limite da função quando
se aproxima de 2 pela direita existe e é igual ao limite pela esquerda e ao valor da função em 2.
Passo 4
Vamos verificar cada condição:
- A função está definida em
: Sim, pois . - Limite pela esquerda (
):
- Limite pela direita (
):
Como todos os limites são iguais e iguais ao valor da função em
, a função é contínua nesse ponto.
Passo 5
Concluímos que não há descontinuidades na função
. A função é contínua em todo o seu domínio real.
Resposta
A função
é contínua em todo o conjunto dos números reais, ou seja, no intervalo
. Não há descontinuidades na função.