Descreva o(s) intervalo(s) no(s) qual(is) a função é contínua. Explique por que a função é contínua no(s) intervalo(s). Se a função tiver uma descontinuidade, identifique as condições de continuidade que não são satisfeitas.
26. f(x) = { 3 + x, x <= 2; x^2 + 1, x > 2 }

Passo 1

Vamos analisar o enunciado: precisamos descobrir em quais intervalos a função é contínua. Para isso, vamos trabalhar com conceitos de continuidade de funções, especialmente para funções definidas por partes. Nosso objetivo é verificar se a função não apresenta quebras ou saltos em todo o seu domínio.

Passo 2

Primeiro, vamos olhar para cada parte da função separadamente. A função está definida por:
Funções polinomiais, como e , são contínuas em todo o seu domínio. Portanto, dentro de cada intervalo definido ( e ), a função é contínua.

Passo 3

Agora, precisamos verificar a continuidade no ponto onde a função muda de definição, ou seja, em . Para que a função seja contínua nesse ponto, três condições devem ser satisfeitas:
  1. A função está definida em .
  2. O limite da função quando se aproxima de 2 pela esquerda existe.
  3. O limite da função quando se aproxima de 2 pela direita existe e é igual ao limite pela esquerda e ao valor da função em 2.

Passo 4

Vamos verificar cada condição:
  1. A função está definida em : Sim, pois .
  2. Limite pela esquerda ( ):
  1. Limite pela direita ( ):
Como todos os limites são iguais e iguais ao valor da função em , a função é contínua nesse ponto.

Passo 5

Concluímos que não há descontinuidades na função . A função é contínua em todo o seu domínio real.

Resposta

A função é contínua em todo o conjunto dos números reais, ou seja, no intervalo . Não há descontinuidades na função.

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