Descreva o(s) intervalo(s) no(s) qual(is) a função é contínua. Explique por que a função é contínua no(s) intervalo(s). Se a função tiver uma descontinuidade, identifique as condições de continuidade que não são satisfeitas.
19. f(x) = x / (x^2 + 1)

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A questão pede para a gente descobrir em quais intervalos a função é contínua. Para isso, vamos precisar entender o que é uma função contínua e verificar se há algum ponto onde a função possa ter descontinuidade.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar o que é uma função contínua. Basicamente, uma função é contínua em um ponto se não houver “saltos” ou “buracos” no gráfico dela nesse ponto. Mais formalmente, para uma função ser contínua em um ponto , três condições devem ser satisfeitas:
  1. Existência da função em : deve existir.
  2. Existência do limite em : O limite de quando se aproxima de deve existir.
  3. Igualdade entre o limite e a função: O limite de quando se aproxima de deve ser igual a .

Passo 3

Agora, vamos analisar a função . Essa é uma função do tipo racional, que é o quociente de dois polinômios. As funções racionais são contínuas em todos os pontos onde o denominador não é zero, porque uma divisão por zero não está definida.

Passo 4

Vamos verificar onde o denominador pode ser igual a zero:
Aqui, vemos que não tem solução no conjunto dos números reais, já que o quadrado de qualquer número real é sempre não negativo e nunca será igual a -1.

Passo 5

Como o denominador nunca é zero para nenhum valor real de , a função não tem pontos de descontinuidade no conjunto dos números reais. Portanto, ela é contínua em todos os intervalos reais.

Resposta

A função é contínua para todos os números reais, ou seja, em todo o intervalo . Não há descontinuidade porque o denominador nunca é zero.

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