Descreva o(s) intervalo(s) no(s) qual(is) a função é contínua. Explique por que a função é contínua no(s) intervalo(s). Se a função tiver uma descontinuidade, identifique as condições de continuidade que não são satisfeitas.
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Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A questão pede para a gente descobrir em quais intervalos a função
é contínua. Para isso, vamos precisar entender o que é uma função contínua e verificar se há algum ponto onde a função possa ter descontinuidade.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar o que é uma função contínua. Basicamente, uma função é contínua em um ponto se não houver “saltos” ou “buracos” no gráfico dela nesse ponto. Mais formalmente, para uma função ser contínua em um ponto
, três condições devem ser satisfeitas:
- Existência da função em
: deve existir. - Existência do limite em
: O limite de quando se aproxima de deve existir. - Igualdade entre o limite e a função: O limite de
quando se aproxima de deve ser igual a .
Passo 3
Agora, vamos analisar a função
. Essa é uma função do tipo racional, que é o quociente de dois polinômios. As funções racionais são contínuas em todos os pontos onde o denominador não é zero, porque uma divisão por zero não está definida.
Passo 4
Vamos verificar onde o denominador
pode ser igual a zero:
Aqui, vemos que
não tem solução no conjunto dos números reais, já que o quadrado de qualquer número real é sempre não negativo e nunca será igual a -1.
Passo 5
Como o denominador nunca é zero para nenhum valor real de
, a função
não tem pontos de descontinuidade no conjunto dos números reais. Portanto, ela é contínua em todos os intervalos reais.
Resposta
A função
é contínua para todos os números reais, ou seja, em todo o intervalo
. Não há descontinuidade porque o denominador nunca é zero.