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Em cada um dos itens abaixo encontre um conjunto finito que gera o subespaço do espaço vetorial . Determine então a dimensão de .
(a) .
Passo 1
Então, vamos lá! O exercício pede para a gente encontrar um conjunto finito que gera o subespaço do espaço vetorial . Aqui, e . Vamos precisar entender um pouco sobre subespaços vetoriais e como gerar esses subespaços usando conjuntos de vetores.
Passo 2
Primeiro, vamos entender o que é . A condição significa que . Então, qualquer vetor em tem a forma , onde e podem ser quaisquer números reais.
Passo 3
Agora, vamos expressar isso de uma forma mais clara. Podemos escrever como uma combinação linear de vetores. Observe que:
Aqui, e são vetores que, combinados por escalares e , geram qualquer vetor em .
Passo 4
Portanto, o conjunto que gera é:
Isso significa que qualquer vetor em pode ser obtido como uma combinação linear desses dois vetores.
Passo 5
Agora, vamos determinar a dimensão de . A dimensão de um subespaço vetorial é o número de vetores em uma base para esse subespaço. Uma base é um conjunto de vetores que gera o subespaço e que são linearmente independentes.
Passo 6
Os vetores e são claramente linearmente independentes, já que nenhum deles pode ser escrito como múltiplo do outro. Por exemplo, não há um número tal que .
Passo 7
Como temos dois vetores linearmente independentes que geram , a dimensão de é 2.
Resposta
O conjunto gera o subespaço , e a dimensão de é 2.