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Em cada um dos itens abaixo encontre um conjunto finito S que gera o subespaço W do espaço vetorial V. Determine então a dimensão de W.
(a) W=(x, y, z) in R^3: x-2 y=0 ; V=R^3.

Passo 1

Então, vamos lá! O exercício pede para a gente encontrar um conjunto finito que gera o subespaço do espaço vetorial . Aqui, e . Vamos precisar entender um pouco sobre subespaços vetoriais e como gerar esses subespaços usando conjuntos de vetores.

Passo 2

Primeiro, vamos entender o que é . A condição significa que . Então, qualquer vetor em tem a forma , onde e podem ser quaisquer números reais.

Passo 3

Agora, vamos expressar isso de uma forma mais clara. Podemos escrever (2y, y, z) = y cdot (2, 1, 0) + z cdot (0, 0, 1) como uma combinação linear de vetores. Observe que:
Aqui, e são vetores que, combinados por escalares e , geram qualquer vetor em .

Passo 4

Portanto, o conjunto S = , (2, 1, 0), (0, 0, 1) , que gera é:
Isso significa que qualquer vetor em pode ser obtido como uma combinação linear desses dois vetores.

Passo 5

Agora, vamos determinar a dimensão de . A dimensão de um subespaço vetorial é o número de vetores em uma base para esse subespaço. Uma base é um conjunto de vetores que gera o subespaço e que são linearmente independentes.

Passo 6

Os vetores e são claramente linearmente independentes, já que nenhum deles pode ser escrito como múltiplo do outro. Por exemplo, não há um número tal que .

Passo 7

Como temos dois vetores linearmente independentes que geram , a dimensão de é 2.

Resposta

O conjunto gera o subespaço , e a dimensão de é 2.

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