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Em cada um dos itens abaixo encontre um conjunto finito
que gera o subespaço
do espaço vetorial
. Determine então a dimensão de
.
(a)
.
Em cada um dos itens abaixo encontre um conjunto finito
(a)
Passo 1
Então, vamos lá! O exercício pede para a gente encontrar um conjunto finito
que gera o subespaço
do espaço vetorial
. Aqui,
e
. Vamos precisar entender um pouco sobre subespaços vetoriais e como gerar esses subespaços usando conjuntos de vetores.
Passo 2
Primeiro, vamos entender o que é
. A condição
significa que
. Então, qualquer vetor em
tem a forma
, onde
e
podem ser quaisquer números reais.
Passo 3
Agora, vamos expressar isso de uma forma mais clara. Podemos escrever
como uma combinação linear de vetores. Observe que:
Aqui,
e
são vetores que, combinados por escalares
e
, geram qualquer vetor em
.
Passo 4
Portanto, o conjunto
que gera
é:
Isso significa que qualquer vetor em
pode ser obtido como uma combinação linear desses dois vetores.
Passo 5
Agora, vamos determinar a dimensão de
. A dimensão de um subespaço vetorial é o número de vetores em uma base para esse subespaço. Uma base é um conjunto de vetores que gera o subespaço e que são linearmente independentes.
Passo 6
Os vetores
e
são claramente linearmente independentes, já que nenhum deles pode ser escrito como múltiplo do outro. Por exemplo, não há um número
tal que
.
Passo 7
Como temos dois vetores linearmente independentes que geram
, a dimensão de
é 2.
Resposta
O conjunto
gera o subespaço
, e a dimensão de
é 2.