17
Em cada um dos itens abaixo encontre um conjunto finito que gera o subespaço do espaço vetorial . Determine então a dimensão de .
(a) .

Passo 1

Então, vamos lá! O exercício pede para a gente encontrar um conjunto finito que gera o subespaço do espaço vetorial . Aqui, e . Vamos precisar entender um pouco sobre subespaços vetoriais e como gerar esses subespaços usando conjuntos de vetores.

Passo 2

Primeiro, vamos entender o que é . A condição significa que . Então, qualquer vetor em tem a forma , onde e podem ser quaisquer números reais.

Passo 3

Agora, vamos expressar isso de uma forma mais clara. Podemos escrever como uma combinação linear de vetores. Observe que:
Aqui, e são vetores que, combinados por escalares e , geram qualquer vetor em .

Passo 4

Portanto, o conjunto que gera é:
Isso significa que qualquer vetor em pode ser obtido como uma combinação linear desses dois vetores.

Passo 5

Agora, vamos determinar a dimensão de . A dimensão de um subespaço vetorial é o número de vetores em uma base para esse subespaço. Uma base é um conjunto de vetores que gera o subespaço e que são linearmente independentes.

Passo 6

Os vetores e são claramente linearmente independentes, já que nenhum deles pode ser escrito como múltiplo do outro. Por exemplo, não há um número tal que .

Passo 7

Como temos dois vetores linearmente independentes que geram , a dimensão de é 2.

Resposta

O conjunto gera o subespaço , e a dimensão de é 2.

Exercícios relacionados

Considere o operador linear sabendo que
é inversível? Em caso afirmativo, determine o isomorfismo inverso.
Sejam e as retas definidas pelas seguintes equações:
Sabendo que e são paralelas, calcule:
(a) A distância entre elas, ;
(b) A equação do plano definido por elas, .
A transformação linear definida por:
é um isomorfismo de em ? Se for, determine o isomorfismo inverso .
Verifique, em cada um dos itens abaixo, se o conjunto com as operações indicadas é um espaço vetorial sobre . (Este exercício deve ser resolvido com a definição de espaço vetorial)
© , com as operações usuais de funções.