Considere o operador linear F: R^3 R^3 sabendo que
F(1,0,0)=(1,1,1), F(0,1,0)=(1,1,2), F(0,0,1)=(0,0,2)
F é inversível? Em caso afirmativo, determine o isomorfismo inverso.

Passo 1

Beleza, vamos lá! A gente tem um operador linear que transforma os vetores da base canônica de de uma forma específica. A pergunta é se esse operador é inversível, ou seja, se existe um outro operador que desfaz exatamente o que o faz. Para resolver isso, vamos precisar usar conceitos de matrizes, determinantes e inversão de matrizes.

Passo 2

Primeiro, vamos representar o operador F(1,0,0) = (1,1,1), F(0,1,0) = (1,1,2), F(0,0,1) = (0,0,2) como uma matriz. Sabemos como A = 1 & 1 & 0 1 & 1 & 0 1 & 2 & 2 age sobre os vetores da base canônica:
Isso significa que a matriz de é formada por essas imagens sendo as colunas:

Passo 3

Agora, para saber se det(A) = 1 cdot (1 cdot 2 - 0 cdot 2) - 1 cdot (1 cdot 2 - 0 cdot 1) + 0 cdot (1 cdot 0 - 1 cdot 1) = 1 cdot 2 - 1 cdot 2 + 0 = 2 - 2 + 0 = 0 é inversível, precisamos verificar se a matriz é inversível. Uma maneira de fazer isso é calcular o determinante de . Se o determinante for diferente de zero, a matriz é inversível.
Vamos calcular o determinante de :

Passo 4

Olhando o determinante, vemos que . Isso significa que a matriz não é inversível. Portanto, o operador linear também não é inversível, já que não existe um operador que possa desfazer exatamente o que faz.

Resposta

Não, o operador linear não é inversível porque o determinante da sua matriz associada é zero.

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