Considere o operador linear sabendo que
é inversível? Em caso afirmativo, determine o isomorfismo inverso.

Passo 1

Beleza, vamos lá! A gente tem um operador linear que transforma os vetores da base canônica de de uma forma específica. A pergunta é se esse operador é inversível, ou seja, se existe um outro operador que desfaz exatamente o que o faz. Para resolver isso, vamos precisar usar conceitos de matrizes, determinantes e inversão de matrizes.

Passo 2

Primeiro, vamos representar o operador como uma matriz. Sabemos como age sobre os vetores da base canônica:
Isso significa que a matriz de é formada por essas imagens sendo as colunas:

Passo 3

Agora, para saber se é inversível, precisamos verificar se a matriz é inversível. Uma maneira de fazer isso é calcular o determinante de . Se o determinante for diferente de zero, a matriz é inversível.
Vamos calcular o determinante de :

Passo 4

Olhando o determinante, vemos que . Isso significa que a matriz não é inversível. Portanto, o operador linear também não é inversível, já que não existe um operador que possa desfazer exatamente o que faz.

Resposta

Não, o operador linear não é inversível porque o determinante da sua matriz associada é zero.

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Sejam e as retas definidas pelas seguintes equações:
Sabendo que e são paralelas, calcule:
(a) A distância entre elas, ;
(b) A equação do plano definido por elas, .
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Em cada um dos itens abaixo encontre um conjunto finito que gera o subespaço do espaço vetorial . Determine então a dimensão de .
(a) .
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é um isomorfismo de em ? Se for, determine o isomorfismo inverso .