é inversível? Em caso afirmativo, determine o isomorfismo inverso.
Passo 1
Beleza, vamos lá! A gente tem um operador linear que transforma os vetores da base canônica de de uma forma específica. A pergunta é se esse operador é inversível, ou seja, se existe um outro operador que desfaz exatamente o que o faz. Para resolver isso, vamos precisar usar conceitos de matrizes, determinantes e inversão de matrizes.
Passo 2
Primeiro, vamos representar o operador como uma matriz. Sabemos como age sobre os vetores da base canônica:
Isso significa que a matriz de é formada por essas imagens sendo as colunas:
Passo 3
Agora, para saber se é inversível, precisamos verificar se a matriz é inversível. Uma maneira de fazer isso é calcular o determinante de . Se o determinante for diferente de zero, a matriz é inversível.
Vamos calcular o determinante de :
Passo 4
Olhando o determinante, vemos que . Isso significa que a matriz não é inversível. Portanto, o operador linear também não é inversível, já que não existe um operador que possa desfazer exatamente o que faz.
Resposta
Não, o operador linear não é inversível porque o determinante da sua matriz associada é zero.