Sejam r e s as retas definidas pelas seguintes equações:
r:l x=1+3 t y=6-t z=-2+5 t e s:l x=2+9 t y=5-3 t z=-3+15 t
Sabendo que r e s são paralelas, calcule:
(a) A distância entre elas, d(r, s);
(b) A equação do plano definido por elas, pir s.

Passo 1

Beleza, vamos lá! A gente tem duas retas e definidas por equações paramétricas no espaço tridimensional. A tarefa é:
(a) Calcular a distância entre essas duas retas paralelas.
(b) Encontrar a equação do plano que é definido por elas.
Para resolver isso, vamos precisar usar conceitos de geometria analítica, como vetores diretores das retas, vetores de posição e fórmulas de distância entre retas paralelas.

Passo 2

Primeiro, vamos identificar os vetores diretores das retas dr = 3 -1 5 e ds = 9 -3 15 . Nas equações paramétricas, os coeficientes de representam os componentes dos vetores diretores.
Para a reta :
Para a reta :
Observamos que , ou seja, as retas são realmente paralelas, como foi dado no enunciado.

Passo 3

Como as retas são paralelas, a distância entre elas é constante. Para encontrar essa distância, precisamos de um vetor que conecte um ponto da reta PrPs = 2 - 1 5 - 6 -3 - (-2) = 1 -1 -1 a um ponto da reta . Vamos pegar os pontos de origem das equações paramétricas:
Ponto em :
Ponto em :
O vetor que vai de para é:

Passo 4

A distância d = |PrPs times dr||dr| entre as retas paralelas pode ser encontrada usando a fórmula:
PrPs times dr = i & j & k 1 & -1 & -1 3 & -1 & 5 = i((-1)(5) - (-1)(-1)) - j(1 cdot 5 - (-1) cdot 3) + k(1 cdot (-1) - (-1) cdot 3)
Onde = i(-5 - 1) - j(5 + 3) + k(-1 + 3) = -6 -8 2 representa o produto vetorial e |PrPs times dr| = raiz(-6)^2 + (-8)^2 + 2^2 = raiz36 + 64 + 4 = raiz104 = 2raiz26 é a magnitude do vetor.
Vamos calcular o produto vetorial |dr| = raiz3^2 + (-1)^2 + 5^2 = raiz9 + 1 + 25 = raiz35 :
d = 2raiz26raiz35 = 2raiz26raiz35 cdot raiz35raiz35 = 2raiz91035 = 2raiz91035
Agora, calculamos a magnitude desse vetor:
E a magnitude do vetor diretor :
Então, a distância é:
Podemos simplificar para , mas geralmente a resposta é deixada em termos de radicais simplificados.

Passo 5

Agora, vamos achar a equação do plano PrPs = 1 -1 -1 que é definido pelas retas n = dr times PrPs = i & j & k 3 & -1 & 5 1 & -1 & -1 = i((-1)(-1) - 5(-1)) - j(3(-1) - 5(1)) + k(3(-1) - (-1)(1)) e = i(1 + 5) - j(-3 - 5) + k(-3 + 1) = 6 8 -2 . Como as retas são paralelas, podemos escolher um dos vetores diretores e um vetor que conecta os dois pontos para definir o plano.
Usaremos o vetor diretor nx(x - x0) + ny(y - y0) + nz(z - z0) = 0 e o vetor 6(x - 1) + 8(y - 6) - 2(z + 2) = 0 que já calculamos:
6x - 6 + 8y - 48 - 2z - 4 = 0
Para encontrar a normal ao plano, fazemos o produto vetorial entre 6x + 8y - 2z - 58 = 0 e 3x + 4y - z - 29 = 0 :
Agora, usamos a equação geral do plano:
Onde é um ponto no plano. Podemos usar .
Substituindo:
Expandindo:
Podemos simplificar dividindo todos os termos por 2:

Resposta

(a) A distância entre as retas e é .
(b) A equação do plano definido por elas é .

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