Sejam e as retas definidas pelas seguintes equações:
Sabendo que e são paralelas, calcule:
(a) A distância entre elas, ;
(b) A equação do plano definido por elas, .

Passo 1

Beleza, vamos lá! A gente tem duas retas e definidas por equações paramétricas no espaço tridimensional. A tarefa é:
(a) Calcular a distância entre essas duas retas paralelas.
(b) Encontrar a equação do plano que é definido por elas.
Para resolver isso, vamos precisar usar conceitos de geometria analítica, como vetores diretores das retas, vetores de posição e fórmulas de distância entre retas paralelas.

Passo 2

Primeiro, vamos identificar os vetores diretores das retas e . Nas equações paramétricas, os coeficientes de representam os componentes dos vetores diretores.
Para a reta :
Para a reta :
Observamos que , ou seja, as retas são realmente paralelas, como foi dado no enunciado.

Passo 3

Como as retas são paralelas, a distância entre elas é constante. Para encontrar essa distância, precisamos de um vetor que conecte um ponto da reta a um ponto da reta . Vamos pegar os pontos de origem das equações paramétricas:
Ponto em :
Ponto em :
O vetor que vai de para é:

Passo 4

A distância entre as retas paralelas pode ser encontrada usando a fórmula:
Onde representa o produto vetorial e é a magnitude do vetor.
Vamos calcular o produto vetorial :
Agora, calculamos a magnitude desse vetor:
E a magnitude do vetor diretor :
Então, a distância é:
Podemos simplificar para , mas geralmente a resposta é deixada em termos de radicais simplificados.

Passo 5

Agora, vamos achar a equação do plano que é definido pelas retas e . Como as retas são paralelas, podemos escolher um dos vetores diretores e um vetor que conecta os dois pontos para definir o plano.
Usaremos o vetor diretor e o vetor que já calculamos:
Para encontrar a normal ao plano, fazemos o produto vetorial entre e :
Agora, usamos a equação geral do plano:
Onde é um ponto no plano. Podemos usar .
Substituindo:
Expandindo:
Podemos simplificar dividindo todos os termos por 2:

Resposta

(a) A distância entre as retas e é .
(b) A equação do plano definido por elas é .

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Seja . Calcule a distância entre as retas e .
(a) .
(b) .
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(a) .