A posição angular de um ponto sobre a borda de uma roda em rotação é dada por theta(t)=2+4 t^2+2 t^3, com theta em radianos e t em segundos. Calcule a velocidade média entre os instantes t=0 e t=4.

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente tem uma função que mostra a posição angular de um ponto na borda de uma roda em rotação: theta(t) = 2 + 4t^2 + 2t^3. Queremos descobrir qual é a velocidade média desse ponto entre os instantes t = 0 e t = 4 segundos. Para isso, vamos usar o conceito de velocidade média, que basicamente nos mostra o quanto a posição mudou dividido pelo tempo que passou.

Passo 2

Primeiro, vamos calcular a posição angular no tempo t = 4 segundos. Basta substituir t por 4 na função theta(t):
theta(4) = 2 + 4(4)^2 + 2(4)^3

Passo 3

Vamos resolver as potências:
4^2 = 16 e 4^3 = 64
Agora, substituímos de volta:
theta(4) = 2 + 4 times 16 + 2 times 64 = 2 + 64 + 128 = 194 radianos

Passo 4

Agora, vamos calcular a posição angular no tempo t = 0 segundos:
theta(0) = 2 + 4(0)^2 + 2(0)^3 = 2 + 0 + 0 = 2 radianos

Passo 5

A velocidade média ( vm) é dada pela diferença das posições dividida pelo intervalo de tempo:
vm = theta(4) - theta(0)4 - 0 = 194 - 24 = 1924 = 48 rad/s

Resposta

A velocidade média do ponto entre t = 0 e t = 4 segundos é 48 rad/s.

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