Determine um sistema de geradores para cada um dos subespaços e .
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente está trabalhando com subespaços vetoriais no espaço . Precisamos encontrar um conjunto de vetores que gerem a soma dos subespaços e a interseção . Para isso, vamos usar conceitos de álgebra linear como sistemas de equações e combinação linear de vetores.
Passo 2
Primeiro, vamos entender os subespaços que temos:
Subespaço :
Isso significa que qualquer vetor em satisfaz a equação acima.
Subespaço :
Aqui, é gerado pelos vetores e , ou seja, qualquer vetor em pode ser formado combinando linearmente esses dois vetores.
Passo 3
Vamos encontrar um sistema de geradores para . A soma de dois subespaços consiste em todos os vetores que podem ser escritos como a soma de um vetor de com um vetor de . Para isso, precisamos encontrar vetores que, juntos, abranjam todos esses casos.
Primeiro, precisamos encontrar vetores que estão tanto em quanto em (ou seja, a interseção), mas vou explicar isso no próximo passo. Aqui, vamos apenas combinar os geradores de e .
Para encontrar um gerador para , vamos resolver a equação . Podemos expressar uma variável em função das outras, por exemplo, . Assim, um vetor genérico em pode ser escrito como:
Então, os vetores e geram .
Agora, juntando com os geradores de , que são e , temos um conjunto de vetores que pode gerar :
No entanto, esse conjunto pode ser dependente. Precisamos verificar e remover possíveis vetores redundantes.
Passo 4
Agora, vamos determinar um sistema de geradores para , ou seja, os vetores que estão simultaneamente em e em .
Para encontrar , procuramos vetores que atendem tanto à condição de quanto são combinações lineares dos vetores que geram . Então, seja um vetor em . Isso dá:
Esse vetor também precisa satisfazer a equação de :