17
Considere os seguintes subespaços de R^3 :
U=(x, y, z) in R^3 mid 2 x-4 y+6 z=0 e W=>=r((1,0,1),(1,1,3))
Determine um sistema de geradores para cada um dos subespaços U+W e U cap W.

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente está trabalhando com subespaços vetoriais no espaço . Precisamos encontrar um conjunto de vetores que gerem a soma dos subespaços e a interseção . Para isso, vamos usar conceitos de álgebra linear como sistemas de equações e combinação linear de vetores.

Passo 2

Primeiro, vamos entender os subespaços que temos:
  • Subespaço U = (x, y, z) in R^3 mid 2x - 4y + 6z = 0 :
    W = >=r (1,0,1), (1,1,3)
    Isso significa que qualquer vetor em satisfaz a equação acima.
  • Subespaço :
    Aqui, é gerado pelos vetores e , ou seja, qualquer vetor em pode ser formado combinando linearmente esses dois vetores.

Passo 3

Vamos encontrar um sistema de geradores para (2y - 3z, y, z) = y(2, 1, 0) + z(-3, 0, 1) . A soma de dois subespaços , (2,1,0),, (-3,0,1),, (1,0,1),, (1,1,3) , consiste em todos os vetores que podem ser escritos como a soma de um vetor de com um vetor de . Para isso, precisamos encontrar vetores que, juntos, abranjam todos esses casos.
Primeiro, precisamos encontrar vetores que estão tanto em quanto em (ou seja, a interseção), mas vou explicar isso no próximo passo. Aqui, vamos apenas combinar os geradores de e .
Para encontrar um gerador para , vamos resolver a equação . Podemos expressar uma variável em função das outras, por exemplo, . Assim, um vetor genérico em pode ser escrito como:
Então, os vetores e geram .
Agora, juntando com os geradores de , que são e , temos um conjunto de vetores que pode gerar :
No entanto, esse conjunto pode ser dependente. Precisamos verificar e remover possíveis vetores redundantes.

Passo 4

Agora, vamos determinar um sistema de geradores para v = (a + b,, b,, a + 3b) , ou seja, os vetores que estão simultaneamente em 2(a + b) - 4b + 6(a + 3b) = 0 e em 2a + 2b - 4b + 6a + 18b = 0 (2a + 6a) + (2b - 4b + 18b) = 0 8a + 16b = 0 a + 2b = 0 a = -2b .
Para encontrar v = (-2b + b,, b,, -2b + 3b) = (-b,, b,, b) , procuramos vetores que atendem tanto à condição de v = b(-1,, 1,, 1) quanto são combinações lineares dos vetores que geram . Então, seja um vetor em . Isso dá:
Esse vetor também precisa satisfazer a equação de :
Simplificando:
Substituindo na expressão de :
Fatorando :
Então, o vetor gera .

Resposta

Um sistema de geradores para é e para é .

Exercícios relacionados

Considere as mat ries: A=[cc3 & 0 -1 & 2 1 & 1], B=[cc4 & -1 0 & 2], C-[lll1 & 4 & 2 3 & 1 & 5],
D=[c 1 -1 2 ] e E=[ccc 6 & 1 & 3 -1 & 1 & 2 4 & 1 & 3 ]
Cakuk guando posivel, as soguintes matrizes:
© (10 E^3-10 E)^prime
Sejam W1=>=r((1,0,-1),(1,2,1)) e W2=>=r((1,1,1),(1,0,0)).
b) Determine uma base para W1 cap W2.
Considere as mat ries: A=[cc3 & 0 -1 & 2 1 & 1], B=[cc4 & -1 0 & 2], C-[lll1 & 4 & 2 3 & 1 & 5],
D=[c 1 -1 2 ] e E=[ccc 6 & 1 & 3 -1 & 1 & 2 4 & 1 & 3 ]
Cakuk guando posivel, as soguintes matrizes:
(f) D cdot D cdot E
Suponha que u, v, w são vetores tais que lang<= u, vrang<==2,lang<= u, wrang<==-3,lang<= v, wrang<==5,|u|=1,|v|=2 e |w|=1. Calcule: |u+v+w|