Beleza, vamos resolver esse exercício de Álgebra Linear! A gente tem dois subespaços e gerados por certos vetores em . A pergunta é: qual é uma base para a interseção ? Ou seja, queremos encontrar todos os vetores que estão em e em ao mesmo tempo. Para resolver isso, vamos precisar entender como os subespaços são formados por combinações lineares e resolver um sistema de equações.
Passo 2
Primeiro, vamos escrever os geradores de cada subespaço. Para , temos:
E para :
Isso significa que qualquer vetor em pode ser escrito como uma combinação linear dos vetores que geram , e o mesmo vale para .
Passo 3
Agora, vamos expressar um vetor v = a 10-1 + b 121 que está na interseção v = c 111 + d 100 . Isso quer dizer que pode ser escrito de duas maneiras:
Como combinação linear dos geradores de :
Como combinação linear dos geradores de :
Passo 4
Vamos igualar essas duas expressões para o vetor a 10-1 + b 121 = c 111 + d 100 :
a + b = c + d 0a + 2b = c + 0d -1a + b = c + 0d
Isso nos dá um sistema de equações:
Passo 5
Vamos resolver esse sistema passo a passo. Do segundo equação:
2b = c
Da terceira equação:
-a + b = c
Substituindo -a + b = 2b na terceira equação:
-a = b
a = -b
a + b = c + d
Agora, da primeira equação:
-b + b = 2b + d
Substituindo 0 = 2b + d e d = -2b :
Passo 6
Agora que encontramos v = a 10-1 + b 121 , v = (-b) 10-1 + b 121 e v = -b0b + b2bb em termos de v = 02b2b , podemos expressar o vetor v = b 022 em função de :