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Determine três pontos distintos sobre o plano pi, dois vetores diretores (não colineares) e um vetor normal a pi, para
(a) pi:lx=2-3 t+s y=-1+3 s z=4+2 t-5 s

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A questão pede para a gente encontrar três pontos diferentes no plano pi, dois vetores diretores que não sejam múltiplos um do outro e um vetor normal ao plano. O plano pi está dado pelas equações paramétricas:
x = 2 - 3t + s y = -1 + 3s z = 4 + 2t - 5s
Para resolver isso, vamos precisar entender como usar os parâmetros t e s para encontrar pontos no plano, identificar os vetores diretores a partir das equações e depois encontrar o vetor normal usando o produto vetorial.

Passo 2

Primeiro, vamos encontrar três pontos distintos no plano pi. Para isso, vamos escolher valores diferentes para t e s e calcular as coordenadas (x, y, z).
  1. Ponto A: Vamos deixar t = 0 e s = 0.
    x = 2 - 3(0) + 0 = 2 y = -1 + 3(0) = -1 z = 4 + 2(0) - 5(0) = 4
    Então, o ponto A é (2, -1, 4).
  2. Ponto B: Vamos deixar t = 1 e s = 0.
    x = 2 - 3(1) + 0 = -1 y = -1 + 3(0) = -1 z = 4 + 2(1) - 5(0) = 6
    Então, o ponto B é (-1, -1, 6).
  3. Ponto C: Vamos deixar t = 0 e s = 1.
    x = 2 - 3(0) + 1 = 3 y = -1 + 3(1) = 2 z = 4 + 2(0) - 5(1) = -1
    Então, o ponto C é (3, 2, -1).

Passo 3

Agora, vamos encontrar os vetores diretores do plano. Nas equações paramétricas, os coeficientes de t e s nos dão os vetores diretores.
  1. O coeficiente de t está associado ao vetor u:
    u = (-3, 0, 2)
  2. O coeficiente de s está associado ao vetor v:
    v = (1, 3, -5)
Esses vetores são não colineares porque não são múltiplos um do outro, ou seja, não podemos obter um vetor multiplicando o outro por um escalar.

Passo 4

Por fim, vamos encontrar o vetor normal ao plano pi. Para isso, usamos o produto vetorial dos vetores diretores u e v. O vetor normal n é perpendicular ao plano.
n = u times v
Calculando o produto vetorial:
n = i & j & k -3 & 0 & 2 1 & 3 & -5
= i(0 cdot (-5) - 2 cdot 3) - j(-3 cdot (-5) - 2 cdot 1) + k(-3 cdot 3 - 0 cdot 1)
= i(0 + (-6)) - j(15 - 2) + k(-9 - 0)
= -6i - 13j -9k
Portanto, o vetor normal é:
n = (-6, -13, -9)

Resposta

Três pontos distintos no plano pi são (2, -1, 4), (-1, -1, 6) e (3, 2, -1). Dois vetores diretores não colineares são u = (-3, 0, 2) e v = (1, 3, -5). Um vetor normal ao plano é n = (-6, -13, -9).

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