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Determine três pontos distintos sobre o plano , dois vetores diretores (não colineares) e um vetor normal a , para
(a)
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A questão pede para a gente encontrar três pontos diferentes no plano pi, dois vetores diretores que não sejam múltiplos um do outro e um vetor normal ao plano. O plano pi está dado pelas equações paramétricas:
x = 2 - 3t + s y = -1 + 3s z = 4 + 2t - 5s
Para resolver isso, vamos precisar entender como usar os parâmetros t e s para encontrar pontos no plano, identificar os vetores diretores a partir das equações e depois encontrar o vetor normal usando o produto vetorial.
Passo 2
Primeiro, vamos encontrar três pontos distintos no plano pi. Para isso, vamos escolher valores diferentes para t e s e calcular as coordenadas (x, y, z).
Ponto A: Vamos deixar t = 0 e s = 0.
x = 2 - 3(0) + 0 = 2 y = -1 + 3(0) = -1 z = 4 + 2(0) - 5(0) = 4
Então, o ponto A é (2, -1, 4).
Ponto B: Vamos deixar t = 1 e s = 0.
x = 2 - 3(1) + 0 = -1 y = -1 + 3(0) = -1 z = 4 + 2(1) - 5(0) = 6
Então, o ponto B é (-1, -1, 6).
Ponto C: Vamos deixar t = 0 e s = 1.
x = 2 - 3(0) + 1 = 3 y = -1 + 3(1) = 2 z = 4 + 2(0) - 5(1) = -1
Então, o ponto C é (3, 2, -1).
Passo 3
Agora, vamos encontrar os vetores diretores do plano. Nas equações paramétricas, os coeficientes de t e s nos dão os vetores diretores.
O coeficiente de t está associado ao vetor u:
u = (-3, 0, 2)
O coeficiente de s está associado ao vetor v:
v = (1, 3, -5)
Esses vetores são não colineares porque não são múltiplos um do outro, ou seja, não podemos obter um vetor multiplicando o outro por um escalar.
Passo 4
Por fim, vamos encontrar o vetor normal ao plano pi. Para isso, usamos o produto vetorial dos vetores diretores u e v. O vetor normal n é perpendicular ao plano.
Três pontos distintos no plano pi são (2, -1, 4), (-1, -1, 6) e (3, 2, -1). Dois vetores diretores não colineares são u = (-3, 0, 2) e v = (1, 3, -5). Um vetor normal ao plano é n = (-6, -13, -9).