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Determine três pontos distintos sobre o plano , dois vetores diretores (não colineares) e um vetor normal a , para
(a)
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A questão pede para a gente encontrar três pontos diferentes no plano , dois vetores diretores que não sejam múltiplos um do outro e um vetor normal ao plano. O plano está dado pelas equações paramétricas:
Para resolver isso, vamos precisar entender como usar os parâmetros e para encontrar pontos no plano, identificar os vetores diretores a partir das equações e depois encontrar o vetor normal usando o produto vetorial.
Passo 2
Primeiro, vamos encontrar três pontos distintos no plano . Para isso, vamos escolher valores diferentes para e e calcular as coordenadas .
Ponto A: Vamos deixar e .
Então, o ponto é .
Ponto B: Vamos deixar e .
Então, o ponto é .
Ponto C: Vamos deixar e .
Então, o ponto é .
Passo 3
Agora, vamos encontrar os vetores diretores do plano. Nas equações paramétricas, os coeficientes de e nos dão os vetores diretores.
O coeficiente de está associado ao vetor :
O coeficiente de está associado ao vetor :
Esses vetores são não colineares porque não são múltiplos um do outro, ou seja, não podemos obter um vetor multiplicando o outro por um escalar.
Passo 4
Por fim, vamos encontrar o vetor normal ao plano . Para isso, usamos o produto vetorial dos vetores diretores e . O vetor normal é perpendicular ao plano.
Calculando o produto vetorial:
Portanto, o vetor normal é:
Resposta
Três pontos distintos no plano são , e . Dois vetores diretores não colineares são e . Um vetor normal ao plano é .