Determinar equações paramétricas do plano que
(b) Passa pelo ponto P=(2,4,3) e contém a reta r2:lx=1-t y=2+4 t z=t

Passo 1

Vamos lá! A gente precisa encontrar as equações paramétricas de um plano que passa pelo ponto x = 1 - t y = 2 + 4t z = t e que também contém a reta definida por:
Para resolver isso, vamos usar conceitos de geometria analítica, como vetores e planos no espaço tridimensional. Vamos precisar identificar vetores que estão no plano e usar essas informações para montar as equações paramétricas.

Passo 2

Primeiro, vamos identificar um vetor que está na reta v = -1 4 1 . Observando as equações da reta, vemos que o parâmetro está associado aos coeficientes dos vetores na direção da reta. Assim, o vetor diretor da reta é:

Passo 3

Agora, precisamos de outro vetor que também esteja no plano. Para isso, vamos escolher um ponto na reta r2(0) = (1, 2, 0) e conectar com o ponto u = P - r2(0) = 2 - 1 4 - 2 3 - 0 = 1 2 3 . Vamos encontrar um ponto da reta quando :
Então, o vetor que vai de até é:

Passo 4

Agora temos dois vetores que estão no plano: n = u times v = i & j & k 1 & 2 & 3 -1 & 4 & 1 = i(2 cdot 1 - 3 cdot 4) - j(1 cdot 1 - 3 cdot (-1)) + k(1 cdot 4 - 2 cdot (-1)) e n = -10 -4 6 . Para encontrar o vetor normal ao plano, vamos calcular o produto vetorial desses dois vetores:
n = -5 -2 3
Podemos simplificar esse vetor dividindo por 2:

Passo 5

Com o vetor normal n cdot (r - P) = 0 e o ponto -5(x - 2) - 2(y - 4) + 3(z - 3) = 0 , podemos escrever a equação vetorial do plano:
Isso se traduz em:

Passo 6

Agora, vamos transformar isso em equações paramétricas. Sabemos que o plano é determinado por um ponto e dois vetores diretores. Usando x = 2 + (-1)s + 1t y = 4 + 4s + 2t z = 3 + 1s + 3t e , as equações paramétricas ficam:
Onde e são os parâmetros.

Resposta

As equações paramétricas do plano são:
x = 2 - s + t y = 4 + 4s + 2t z = 3 + s + 3t

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