Beleza, vamos lá! O exercício nos dá um sistema linear representado pela matriz , onde:
E queremos responder três perguntas:
a) Calcular o determinante de .
b) Verificar se o sistema tem soluções, sem precisar resolver o sistema.
c) Analisar o posto de e o posto da matriz aumentada .
Para resolver isso, vamos precisar saber como calcular determinantes e entender conceitos de posto de matrizes.
Passo 2
Parte (a): Calcular
Primeiro, vamos calcular o determinante da matriz . Para matrizes 3x3, usamos a regra de Sarrus ou a expansão por cofatores. Vou usar a regra de Sarrus para simplificar.
A matriz é:
Aplicando a regra de Sarrus:
Vamos calcular termo a termo:
Passo 3
Parte (b): O sistema tem soluções?
Para saber se o sistema tem soluções sem resolvê-lo, podemos olhar para o determinante da matriz .
Se , a matriz é invertível e, portanto, o sistema tem uma solução única.
No caso, calculamos que , que é diferente de zero. Então, o sistema tem uma solução única.
O posto de uma matriz é o número de linhas não nulas na sua forma escalonada. Para matriz quadrada com , o posto de é igual ao número de colunas, ou seja, 3.
Para a matriz aumentada , se o posto dela for igual ao posto de , então o sistema é compatível (tem solução). Já sabemos que , então ambos possuem posto 3.