Seja A x=b dado por 2 x1+5 x2+5 x3 & =3 -x1-x2 & =-1 2 x1+4 x2+3 x3 & =0.
(a) Calcule det(A).
(b) A x=b tem soluções? Justifique sem resolver o sistema.
© O que podemos dizer a respeito de posto (A) e posto([llA & b]) ? (Posto de A : número de linhas não nulas da matriz na forma escalonada equivalente por linhas à A.)

Passo 1

Beleza, vamos lá! O exercício nos dá um sistema linear representado pela matriz A = 2 & 5 & 5 -1 & -1 & 0 2 & 4 & 3 , onde:
E queremos responder três perguntas:
a) Calcular o determinante de .
b) Verificar se o sistema tem soluções, sem precisar resolver o sistema.
c) Analisar o posto de e o posto da matriz aumentada .
Para resolver isso, vamos precisar saber como calcular determinantes e entender conceitos de posto de matrizes.

Passo 2

Parte (a): Calcular A = 2 & 5 & 5 -1 & -1 & 0 2 & 4 & 3
Primeiro, vamos calcular o determinante da matriz det(A) = 2 cdot (-1) cdot 3 + 5 cdot 0 cdot 2 + 5 cdot (-1) cdot 4 - 5 cdot (-1) cdot 2 - 5 cdot 0 cdot 2 - 2 cdot (-1) cdot 4 . Para matrizes 3x3, usamos a regra de Sarrus ou a expansão por cofatores. Vou usar a regra de Sarrus para simplificar.
A matriz = 2 times (-1) times 3 + 5 times 0 times 2 + 5 times (-1) times 4 é:
- 5 times (-1) times 2 - 5 times 0 times 2 - 2 times (-1) times 4
Aplicando a regra de Sarrus:
= -6 + 0 -20 +10 +0 +8
Vamos calcular termo a termo:
= (-6 -20) + (10 +8)
= -26 +18
= -8

Passo 3

Parte (b): O sistema tem soluções?
Para saber se o sistema tem soluções sem resolvê-lo, podemos olhar para o determinante da matriz .
Se , a matriz é invertível e, portanto, o sistema tem uma solução única.
No caso, calculamos que , que é diferente de zero. Então, o sistema tem uma solução única.

Passo 4

Parte ©: Analisar o posto de e da matriz aumentada
O posto de uma matriz é o número de linhas não nulas na sua forma escalonada. Para matriz quadrada com , o posto de é igual ao número de colunas, ou seja, 3.
Para a matriz aumentada , se o posto dela for igual ao posto de , então o sistema é compatível (tem solução). Já sabemos que , então ambos possuem posto 3.

Resposta

(a) .
(b) Sim, o sistema tem uma solução única.
© O posto de é 3 e o posto da matriz aumentada também é 3.

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