Seja
dado por
.
(a) Calcule
det(A) .
(b)
A x=b tem soluções? Justifique sem resolver o sistema.
© O que podemos dizer a respeito de posto
(A) e
posto([llA & b]) ? (Posto de
A : número de linhas não nulas da matriz na forma escalonada equivalente por linhas à
A .)
(a) Calcule
(b)
© O que podemos dizer a respeito de posto
Passo 1
Beleza, vamos lá! O exercício nos dá um sistema linear representado pela matriz
A = 2 & 5 & 5 -1 & -1 & 0 2 & 4 & 3 , onde:
E queremos responder três perguntas:
a) Calcular o determinante de
.
b) Verificar se o sistema
tem soluções, sem precisar resolver o sistema.
c) Analisar o posto de
e o posto da matriz aumentada
.
Para resolver isso, vamos precisar saber como calcular determinantes e entender conceitos de posto de matrizes.
Passo 2
Parte (a): Calcular
A = 2 & 5 & 5 -1 & -1 & 0 2 & 4 & 3
Primeiro, vamos calcular o determinante da matriz
det(A) = 2 cdot (-1) cdot 3 + 5 cdot 0 cdot 2 + 5 cdot (-1) cdot 4 - 5 cdot (-1) cdot 2 - 5 cdot 0 cdot 2 - 2 cdot (-1) cdot 4 . Para matrizes 3x3, usamos a regra de Sarrus ou a expansão por cofatores. Vou usar a regra de Sarrus para simplificar.
A matriz
= 2 times (-1) times 3 + 5 times 0 times 2 + 5 times (-1) times 4 é:
Aplicando a regra de Sarrus:
Vamos calcular termo a termo:
Passo 3
Parte (b): O sistema
tem soluções?
Para saber se o sistema tem soluções sem resolvê-lo, podemos olhar para o determinante da matriz
.
Se
, a matriz
é invertível e, portanto, o sistema tem uma solução única.
No caso, calculamos que
, que é diferente de zero. Então, o sistema
tem uma solução única.
Passo 4
Parte ©: Analisar o posto de
e da matriz aumentada
O posto de uma matriz é o número de linhas não nulas na sua forma escalonada. Para matriz quadrada
com
, o posto de
é igual ao número de colunas, ou seja, 3.
Para a matriz aumentada
, se o posto dela for igual ao posto de
, então o sistema é compatível (tem solução). Já sabemos que
, então ambos possuem posto 3.
Resposta
(a)
.
(b) Sim, o sistema
tem uma solução única.
© O posto de
é 3 e o posto da matriz aumentada
também é 3.