Uma circunferência de raio
tem seu centro
no primeiro quadrante do plano, ou seja, que
. Determine as condições sobre os números
e
de modo que a circunferência:
a) não intersecte os eixos coordenados;
a) não intersecte os eixos coordenados;
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente tem uma circunferência com centro no primeiro quadrante, ou seja, com coordenadas
onde
e
. O raio dessa circunferência é
. A gente precisa descobrir quais condições os números
,
e
devem satisfazer para que a circunferência não intersecte os eixos coordenados. Para resolver isso, vamos usar conceitos básicos de geometria sobre circunferências e suas posições em relação aos eixos.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar que a equação geral de uma circunferência no plano é:
Essa equação representa todos os pontos
que estão a uma distância
do centro
.
Passo 3
Agora, para a circunferência não intersectar o eixo x, nenhum ponto da circunferência pode ter coordenada y igual a zero. Vamos analisar isso:
Se substituirmos na equação da circunferência, teremos:
Se substituirmos
Para que não haja solução real para
, o termo
deve ser maior que
. Ou seja:
Passo 4
De maneira semelhante, para a circunferência não intersectar o eixo y, nenhum ponto da circunferência pode ter coordenada x igual a zero. Substituindo
na equação da circunferência:
Para não haver solução real para
, o termo
deve ser maior que
. Então:
Resposta
Portanto, para que a circunferência não intersecte os eixos coordenados, as condições são: