Uma circunferência de raio tem seu centro no primeiro quadrante do plano, ou seja, que . Determine as condições sobre os números e de modo que a circunferência:
a) não intersecte os eixos coordenados;
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente tem uma circunferência com centro no primeiro quadrante, ou seja, com coordenadas onde e . O raio dessa circunferência é . A gente precisa descobrir quais condições os números , e devem satisfazer para que a circunferência não intersecte os eixos coordenados. Para resolver isso, vamos usar conceitos básicos de geometria sobre circunferências e suas posições em relação aos eixos.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar que a equação geral de uma circunferência no plano é:
Essa equação representa todos os pontos que estão a uma distância do centro .
Passo 3
Agora, para a circunferência não intersectar o eixo x, nenhum ponto da circunferência pode ter coordenada y igual a zero. Vamos analisar isso:
Se substituirmos na equação da circunferência, teremos:
Para que não haja solução real para , o termo deve ser maior que . Ou seja:
Passo 4
De maneira semelhante, para a circunferência não intersectar o eixo y, nenhum ponto da circunferência pode ter coordenada x igual a zero. Substituindo na equação da circunferência:
Para não haver solução real para , o termo deve ser maior que . Então:
Resposta
Portanto, para que a circunferência não intersecte os eixos coordenados, as condições são: