Uma circunferência de raio r>0 tem seu centro C=(x0, y0) no primeiro quadrante do plano, ou seja, que x0>0, y0>0. Determine as condições sobre os números x0, yo e r de modo que a circunferência:
a) não intersecte os eixos coordenados;
R a) r

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente tem uma circunferência com centro no primeiro quadrante, ou seja, com coordenadas onde e . O raio dessa circunferência é . A gente precisa descobrir quais condições os números , e devem satisfazer para que a circunferência não intersecte os eixos coordenados. Para resolver isso, vamos usar conceitos básicos de geometria sobre circunferências e suas posições em relação aos eixos.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar que a equação geral de uma circunferência no plano é:
(x - x0)^2 + (y - y0)^2 = r^2
Essa equação representa todos os pontos que estão a uma distância do centro .

Passo 3

Agora, para a circunferência não intersectar o eixo x, nenhum ponto da circunferência pode ter coordenada y igual a zero. Vamos analisar isso:
Se substituirmos (x - x0)^2 + (0 - y0)^2 = r^2 (x - x0)^2 + y0^2 = r^2 na equação da circunferência, teremos:
y0^2 > r^2 Rightarrow y0 > r
Para que não haja solução real para , o termo deve ser maior que . Ou seja:

Passo 4

De maneira semelhante, para a circunferência não intersectar o eixo y, nenhum ponto da circunferência pode ter coordenada x igual a zero. Substituindo (0 - x0)^2 + (y - y0)^2 = r^2 x0^2 + (y - y0)^2 = r^2 na equação da circunferência:
x0^2 > r^2 Rightarrow x0 > r
Para não haver solução real para , o termo deve ser maior que . Então:

Resposta

Portanto, para que a circunferência não intersecte os eixos coordenados, as condições são:
r < x0 e r < y0

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