- Encontrar o volume do sólido gerado pela rotação, em torno do eixo dos
, da região limitada por
.
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício que pede para encontrar o volume de um sólido gerado pela rotação de uma região em torno do eixo dos
. A região é limitada pela parábola
e pela reta
. Para resolver isso, vamos usar o método dos discos, que é uma técnica de cálculo para encontrar volumes de sólidos de revolução.
Passo 2
Primeiro, precisamos entender quais são os limites de integração. A parábola
pode ser reescrita como
. A reta
é a outra fronteira da região. Vamos determinar os pontos de intersecção entre essas duas curvas para saber de onde a região começa e termina.
Passo 3
Igualando as duas expressões para
:
Multiplicando ambos os lados por 16:
Tirando a raiz quadrada:
Então, os limites de
são de -8 a 8.
Passo 4
No método dos discos, o volume
é dado pela integral de
em relação a
, onde
é o raio do disco em função de
. Aqui,
é a distância entre a curva
e a reta
:
Passo 5
Agora, vamos montar a integral para calcular o volume:
Simplificando a expressão dentro da integral:
Passo 6
Vamos integrar termo a termo:
Integrando cada termo:
Passo 7
Calculando os valores nos limites:
Para :
Para
Para
:
Passo 8
Calculando a diferença:
Resposta
O volume do sólido gerado pela rotação da região limitada é aproximadamente
unidades cúbicas.
Exercícios relacionados
Dada a função
, calcular:
b)
Mostre que e que
b)
Mostre que
Determinar as derivadas parciais
, sendo
Sobre o plano cartesiano, julgue as afirmativas a seguir, marcando
para verdadeiro e
para falso:
( ) A forma geral de uma função linear é .
( ) A forma geral de uma função linear é
Sobre o plano cartesiano, julgue as afirmativas a seguir, marcando
para verdadeiro e
para falso:
( ) Uma funçâo linear é crescente quando .
( ) Uma funçâo linear é crescente quando