1. Encontrar o volume do sólido gerado pela rotação, em torno do eixo dos x, da região limitada por y^2 = 16 x e v = 4 x.

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício que pede para encontrar o volume de um sólido gerado pela rotação de uma região em torno do eixo dos . A região é limitada pela parábola e pela reta . Para resolver isso, vamos usar o método dos discos, que é uma técnica de cálculo para encontrar volumes de sólidos de revolução.

Passo 2

Primeiro, precisamos entender quais são os limites de integração. A parábola pode ser reescrita como . A reta é a outra fronteira da região. Vamos determinar os pontos de intersecção entre essas duas curvas para saber de onde a região começa e termina.

Passo 3

Igualando as duas expressões para :
Multiplicando ambos os lados por 16:
Tirando a raiz quadrada:
Então, os limites de são de -8 a 8.

Passo 4

No método dos discos, o volume é dado pela integral de em relação a , onde é o raio do disco em função de . Aqui, é a distância entre a curva e a reta :

Passo 5

Agora, vamos montar a integral para calcular o volume:
Simplificando a expressão dentro da integral:

Passo 6

Vamos integrar termo a termo:
Integrando cada termo:

Passo 7

Calculando os valores nos limites:
Para :
Para :

Passo 8

Calculando a diferença:

Resposta

O volume do sólido gerado pela rotação da região limitada é aproximadamente unidades cúbicas.

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